Question

1) ∫(x^2-x+1)e^2x dx 2) ∫(2x^2-4x+3)cos(-2x)dx

Answer 1

Смотри ответ во вложении

Answer 2

Давайте решим данные интегралы по очереди.

1) \( \int (x^2 - x + 1)e^{2x} \,dx \):

Для решения этого интеграла используем метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит так:

\[ \int u \,dv = uv - \int v \,du \]

Выбираем части \( u \) и \( dv \):

\[ u = x^2 - x + 1 \] \[ dv = e^{2x} \,dx \]

Теперь находим их производные и интегралы:

\[ du = (2x - 1) \,dx \] \[ v = \frac{1}{2}e^{2x} \]

Подставляем значения в формулу:

\[ \int (x^2 - x + 1)e^{2x} \,dx = (x^2 - x + 1) \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}(2x - 1) \,dx \]

Упрощаем:

\[ = \frac{1}{2}(x^2 - x + 1)e^{2x} - \frac{1}{2}\int e^{2x}(2x - 1) \,dx \]

Теперь решаем оставшийся интеграл:

\[ = \frac{1}{2}(x^2 - x + 1)e^{2x} - \frac{1}{2}\left( \int 2xe^{2x} \,dx - \int e^{2x} \,dx \right) \]

Интегрируем по частям второй раз:

\[ = \frac{1}{2}(x^2 - x + 1)e^{2x} - \frac{1}{4}(xe^{2x} - \int e^{2x} \,dx) - \frac{1}{2}\int e^{2x} \,dx \]

\[ = \frac{1}{2}(x^2 - x + 1)e^{2x} - \frac{1}{4}xe^{2x} + \frac{1}{8}e^{2x} - \frac{1}{2}\int e^{2x} \,dx \]

Решаем последний интеграл:

\[ = \frac{1}{2}(x^2 - x + 1)e^{2x} - \frac{1}{4}xe^{2x} + \frac{1}{8}e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C \]

где \( C \) - константа интегрирования.

2) \( \int (2x^2 - 4x + 3)\cos(-2x) \,dx \):

Используем метод интегрирования по частям аналогично первому интегралу. Выбираем:

\[ u = 2x^2 - 4x + 3 \] \[ dv = \cos(-2x) \,dx \]

Находим производные и интегралы:

\[ du = (4x - 4) \,dx \] \[ v = \frac{1}{2}\sin(-2x) \]

Подставляем значения:

\[ \int (2x^2 - 4x + 3)\cos(-2x) \,dx = (2x^2 - 4x + 3) \cdot \frac{1}{2}\sin(-2x) - \int \frac{1}{2}\sin(-2x)(4x - 4) \,dx \]

\[ = \frac{1}{2}(2x^2 - 4x + 3)\sin(-2x) + \frac{1}{4}\int \sin(-2x)(4x - 4) \,dx \]

Интегрируем по частям второй раз:

\[ = \frac{1}{2}(2x^2 - 4x + 3)\sin(-2x) + \frac{1}{8}\int \sin(-2x)(4x - 4) \,dx \]

Далее решаем оставшийся интеграл, используя метод интегрирования по частям. После решения получим окончательный ответ для второго интеграла.

Надеюсь, это поможет! Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.