Question

Помогите пожалуйста кто может вот это решить. 1. Даны координаты точек А, В, С. А ( 7; -4; 1 ), В ( 12; -3; 1 ), С ( 10; 1; 5 ). Требуется: 1) найти угол между векторами и ; 2) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору . 2. Систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью метода Крамера. x + y – 3z = 0, 3x + 2y + 2z = - 1, x – y + 5z = - 2 .

Answer 1

Ты какой класс а то не понятно

Answer 2

Давайте решим задачу по шагам.

Шаг 1: Найти угол между векторами

Для нахождения угла между векторами, можно воспользоваться формулой скалярного произведения векторов:

\[ \cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{\|\vec{AB}\| \cdot \|\vec{AC}\|} \]

где \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) - векторы, соединяющие точки A, B и A, C соответственно.

1. Найдем векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\): \[ \vec{AB} = \langle 12 - 7, (-3) - (-4), 1 - 1 \rangle = \langle 5, 1, 0 \rangle \] \[ \vec{AC} = \langle 10 - 7, 1 - (-4), 5 - 1 \rangle = \langle 3, 5, 4 \rangle \]

2. Найдем скалярное произведение векторов: \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 5 \cdot 3 + 1 \cdot 5 + 0 \cdot 4 = 15 + 5 + 0 = 20 \]

3. Найдем длины векторов: \[ \|\vec{AB}\| = \sqrt{5^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{26} \] \[ \|\vec{AC}\| = \sqrt{3^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{50} \]

4. Подставим значения в формулу: \[ \cos \theta = \frac{20}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{50}} \]

5. Выразим угол: \[ \theta = \arccos\left(\frac{20}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{50}}\right) \]

Шаг 2: Составить уравнение плоскости

Уравнение плоскости можно записать в виде: \[ ax + by + cz = d \]

где \(\langle a, b, c \rangle\) - нормальный вектор к плоскости, а \(d\) - расстояние от начала координат до плоскости. Нормальный вектор можно найти как векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости. Возьмем векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\).

1. Найдем нормальный вектор: \[ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 5 & 1 & 0 \\ 3 & 5 & 4 \end{vmatrix} \] Вычислим определитель: \[ \vec{n} = \langle -20, -12, 28 \rangle \]

2. Нормализуем вектор: \[ \vec{n}_{\text{норм}} = \frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|} = \frac{\langle -20, -12, 28 \rangle}{\sqrt{20^2 + 12^2 + 28^2}} \]

3. Теперь у нас есть нормальный вектор и точка \(C\), через которую проходит плоскость. Уравнение плоскости: \[ -20x - 12y + 28z = d \] Подставим координаты точки \(C (10, 1, 5)\): \[ -20(10) - 12(1) + 28(5) = d \implies d = -200 - 12 + 140 = -72 \] Итак, уравнение плоскости: \[ -20x - 12y + 28z = -72 \]

Шаг 3: Записать систему уравнений в матричной форме и решить методом Крамера

Система уравнений: \[ \begin{cases} x + y - 3z = 0 \\ 3x + 2y + 2z = -1 \\ x - y + 5z = -2 \end{cases} \]

Матрица коэффициентов: \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 5 \end{bmatrix} \]

Вектор правых частей: \[ B = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ -2 \end{bmatrix} \]

Теперь найдем определитель матрицы коэффициентов \(|A|\) и определители матриц, полученных заменой соответствующего столбца на вектор правых частей \(|A_1|, |A_2|, |A_3|\).

1. \(|A| = \text{det}(A) = -13\) 2. Заменим первый столбец: \[ A_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -3 \\ -1 & 2 & 2 \\ -2 & -1 & 5 \end{bmatrix} \] \(|A_1| = \text{det}(A_1) = 6\) 3. Заменим второй столбец: \[ A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & 5 \end{bmatrix} \] \(|A_2| = \text{det}(A_2) = -13\) 4. Заменим третий столбец: \[ A_