Question

Докажите, что 7^(2n) - 1 делится на 24

Answer 1

Докажите, что 7^(2n) - 1 делится на 24
Доказательство
7^(2n) - 1 = (7²)^n-1= 49^n -1
Данная формула  при n>1 всегда можно разложить на множители
a^n-1=(a-1)(a^(n-1) +a^(n-2) +.....+a^(n-n))
Поэтому можно записать
49^n -1 =(49-1)(49^(n-1)+... +49^(n-n))= 48(49^(n-1)+... +49^(n-n)) =
= 2*24(49^(n-1)+... +49^(n-n))
Тождество доказано

Answer 2

Для доказательства этого утверждения можно использовать метод математической индукции. Этот метод состоит из двух шагов: базы индукции и индуктивного перехода. Вот подробное решение:

База индукции: Проверим, что 7^(2n) - 1 делится на 24 при n = 1. Подставим n = 1 в выражение и получим:

7^(2*1) - 1 = 7^2 - 1 = 49 - 1 = 48.

Поскольку 48 делится на 24 без остатка, то и 7^(2n) - 1 делится на 24 при n = 1.

Индуктивный переход: Предположим, что 7^(2n) - 1 делится на 24 при некотором натуральном n = k. То есть, существует такое целое число m, что 7^(2k) - 1 = 24m. Докажем, что 7^(2n) - 1 делится на 24 при n = k + 1. Подставим n = k + 1 в выражение и получим:

7^(2(k+1)) - 1 = 7^(2k+2) - 1 = 49 * 7^(2k) - 1 = 49 * (7^(2k) - 1) + 48.

Поскольку по предположению индукции 7^(2k) - 1 = 24m, то мы можем заменить это выражение в последнем равенстве и получить:

7^(2(k+1)) - 1 = 49 * 24m + 48 = 24 * (49m + 2).

Поскольку 24 * (49m + 2) делится на 24 без остатка, то и 7^(2(k+1)) - 1 делится на 24.

Таким образом, по методу математической индукции мы доказали, что 7^(2n) - 1 делится на 24 при любом натуральном n.

Вы можете найти больше информации о методе математической индукции и других примерах задач на сайтах [Метод математической индукции для чайников](https://www.matburo.ru/ex_dm.php?p1=dmmmi) и [Делимость](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C).