Question

Прямоугольный треугольник с гипотенузой равной c и острым углом α, вращается вокруг гипотенузы. Вычислить объем тела вращения.

Answer 1

Найдём катеты: а = с·cosα, b = c·sinα.

При вращении вокруг гипотенузы с получаются два конуса, радиус основания которых R = c·cosα·sinα

Высота конуса, образующей которого является катет а = с·cosα, равна

h₁ = a·cosα = с·cosα·cosα = c·cos²α

Высота конуса, образующей которого является катет b = c·sinα, равна

h₂ = a·sinα = с·sinα·sinα = c·sin²α

Объём 1-го конуса:

V₁ = 1/3 πR²·h₁ = 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·cos²α

Объём 2-го конуса:

V₂ = 1/3 πR²·h₂ = 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·sin²α

Объём всего тела вращения:

V = V₁ + V₂  = 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·cos²α + 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·sin²α

 = 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·(cos²α + sin²α) = 1/3 ·π·c³·(cosα·sinα)² =

= 1/12 ·π·c³·(4cos²α·sin²α) = 1/12 ·π·c³·sin²2α

Answer 2

Вычисление объема тела вращения прямоугольного треугольника

Для вычисления объема тела вращения прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы, нам понадобятся значения гипотенузы и острого угла α.

Шаг 1: Найдем длину гипотенузы треугольника. Из предоставленных источников, мы можем использовать формулу, которая связывает длины сторон треугольника с углами:

c = a / sin(α) Шаг 2: Вычислим объем тела вращения, используя формулу для объема вращения фигуры вокруг оси:

V = π * r^2 * h

где r - радиус окружности, образующейся при вращении гипотенузы, и h - высота треугольника.

Шаг 3: Найдем радиус окружности r. Радиус можно найти, используя формулу:

r = c / (2π) Шаг 4: Найдем высоту треугольника h. Высоту можно найти, используя формулу:

h = a * sin(α) Шаг 5: Подставим значения радиуса и высоты в формулу для объема:

V = π * (c / (2π))^2 * (a * sin(α))

V = (c^2 * a * sin(α)) / (4π)

Таким образом, объем тела вращения прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы равен (c^2 * a * sin(α)) / (4π).

Пожалуйста, учтите, что я использовал информацию из источников и для вычисления объема тела вращения прямоугольного треугольника.