Question

Для одного из предприятий-монополистов зависимость объёма спроса на продукцию q (единиц в месяц) от её цены p (тыс. руб.) задаётся формулой: q=80-10p. Определите максимальное значение цены p (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r=qp составит не менее 150 тыс. руб.

Answer 1

R = q*p = (80 - 10p) * p = 150 тыс.
      Решим уравнение: -10р² +80р - 150 =0, поделим на -10
                                               р² -8р + 15 =0
                                          D= 64 - 4 * 1* 15 = 4
    р₁ = 5                      р₂=3
Итак, максимальная цена 5 тысяч

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для выручки r, которая равна произведению объема спроса q на цену продукции p: r = qp. Нам также известно, что q = 80 - 10p.

Мы хотим найти максимальное значение цены p, при котором значение выручки r составит не менее 150 тыс. рублей. Для этого мы можем подставить значение q из уравнения q = 80 - 10p в формулу для выручки r и решить неравенство:

r = qp 150 ≤ (80 - 10p)p

Решение:

1. Раскроем скобки:

150 ≤ 80p - 10p^2

2. Перенесем все члены в левую часть неравенства:

0 ≤ -10p^2 + 80p - 150

3. Перепишем квадратное уравнение в стандартной форме:

10p^2 - 80p + 150 ≥ 0

4. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-80)^2 - 4 * 10 * 150 = 6400 - 6000 = 400

5. Рассмотрим три случая в зависимости от значения дискриминанта:

- Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня, и решение неравенства - это множество значений p, для которых выражение 10p^2 - 80p + 150 ≥ 0 истинно.

- Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень, и решение неравенства - это множество значений p, для которых выражение 10p^2 - 80p + 150 ≥ 0 истинно.

- Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней, и решение неравенства - это пустое множество.

6. Рассмотрим случай D > 0:

D = 400 > 0

Уравнение имеет два различных действительных корня. Чтобы найти эти корни, мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

p1,2 = (-b ± √D) / (2a)

где a = 10, b = -80, и c = 150.

p1 = (-(-80) + √400) / (2 * 10) = (80 + 20) / 20 = 100 / 20 = 5

p2 = (-(-80) - √400) / (2 * 10) = (80 - 20) / 20 = 60 / 20 = 3

7. Проверим значения p1 и p2 в исходном неравенстве:

Для p = 5: 10 * 5^2 - 80 * 5 + 150 = 10 * 25 - 400 + 150 = 250 - 400 + 150 = 0

Для p = 3: 10 * 3^2 - 80 * 3 + 150 = 10 * 9 - 240 + 150 = 90 - 240 + 150 = 0

Оба значения p удовлетворяют исходному неравенству 10p^2 - 80p + 150 ≥ 0, так как оба выражения равны 0.

Ответ:

Максимальное значение цены p, при котором значение выручки предприятия составит не менее 150 тыс. рублей, равно 5 тыс. рублей.