Question

Найдите корни уравнения sinx+cosx=1 на отрезке [-2π; 4π]

Answer 1

Уравнение sinx+cosx=1 равносильно системе
{a+b=1
{a^2+b^2=1
Которую легко решить графически, решение x=2pi*k, x=pi/2+2pi*k
Из серии 2pi*k входят в [-2pi, 4pi] очевидно только -2pi, 0, 2pi, 4pi
найдем подходящие корни из второй серии
-2pi<=pi/2+2pi*k<=4pi
-5/4<=k<=7/4, подходящие k=-1, 0, 1
Ответ: x=-2pi, 0, 2pi, 4pi, pi/2, -3pi/2, 5pi/2
Можно было сразу ответ выписать просто отметив решения наши на единичной окружности.

Answer 2

Для начала заметим, что уравнение sin(x) + cos(x) = 1 можно переписать в виде sin(x) = 1 - cos(x).

Для нахождения корней уравнения sin(x) = 1 - cos(x) на отрезке [-2π; 4π] воспользуемся графиком функций sin(x) и 1 - cos(x).

График функции sin(x) представляет собой периодическую функцию, колеблющуюся между значениями -1 и 1. График функции 1 - cos(x) также является периодической функцией, колеблющейся между значениями 0 и 2.

Изобразим оба графика на координатной плоскости и найдем точки их пересечения:

1 - cos(x) = sin(x)

cos(x) + sin(x) = 1

Уравнение sin(x) + cos(x) = 1 представляет собой уравнение прямой, проходящей через точки (0, 1) и (1, 0) на плоскости.

Уравнение sin(x) = 1 - cos(x) представляет собой уравнение окружности с центром в точке (1, 0) и радиусом 1.

Точки пересечения графиков функций sin(x) + cos(x) и sin(x) = 1 - cos(x) будут являться корнями уравнения sin(x) + cos(x) = 1 на отрезке [-2π; 4π].

На графике видно, что на отрезке [-2π; 4π] уравнение sin(x) + cos(x) = 1 имеет три корня: x ≈ -1.57, x ≈ 0.47, x ≈ 3.67.

Таким образом, корни уравнения sin(x) + cos(x) = 1 на отрезке [-2π; 4π] равны примерно -1.57, 0.47 и 3.67.