Question

Задание № 1: Решите уравнение (x^2−x+1)^2−10(x−4)(x+3)−109=0. В ответе укажите сумму его корней. Задание № 2: Число a при делении на 7 дает в остатке 2 или 4. В каком из этих случаев будет больше остаток от деления числа a^2 на 7? В ответе укажите номер правильного ответа: 1 - если число aa при делении на 7 дает в остатке 2; 2 - если число aa при делении на 7 дает в остатке 4. Задание № 3: Два пешехода должны выйти навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 20км. Если первый выйдет на полчаса раньше второго, то он встретит второго пешехода через 2,5ч после своего выхода. Если второй выйдет на 1ч раньше первого, то он встретит первого пешехода через 2ч40 мин после своего выхода. Какова скорость первого пешехода (в км/ч)? Задание № 4: Трехзначное число больше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, на 495. Сумма цифр этого трехзначного числа равна 17, а сумма квадратов его цифр равна 109. Найти такое трехзначное число. Задание № 5: При каких значениях параметра b корень уравнения 6−3b+4bx=4b+12x меньше 1? Задание № 6: Диагональ равнобедренной трапеции является биссектрисой острого угла, а основания относятся как 1:2. Периметр трапеции равен 90. Найдите большую сторону трапеции. Задание № 7: Четырехугольник PQRS вписан в окружность. Диагонали PR и QS перпендикулярны и пересекаются в точке M. Известно, что PS=13, QM=10, QR=26. Найти площадь четырехугольника PQRS. Вроде верно скопировал, но мы то знаем, чьего ответа ждем)

Answer 1

Задание № 1:

Решите уравнение (x^2−x+1)^2−10(x−4)(x+3)−109=0. В ответе укажите сумму его корней.

(x^2-x+1)^2-10(x-4)(x+3)-109=0

(x^2-x+1)^2-10(x^2-x-12)-109=0

замена x^2-x+1=a

a^2-10(a-13)-109=0

a^2-10a+130-109=0

a^2-10a+21=0

(a-3)(a-7)=0

a=3

a=7

x^2-x+1=3

x^2-x-2=0

D=1+4*2>0, корни есть

x1+x2=1

x^2-x+1=7

x^2-x-6=0

D=1+4*6>0, корни есть

x3+x4=1

x1+x2+x3+x4=1+1=2

ответ: 2

Задание № 2:

Число a при делении на 7 дает в остатке 2 или 4. В каком из этих случаев будет больше остаток от деления числа a^2 на 7?

первый случай обозначим за х x=7k+2

второй случай обозначим за у y=7k+4

x^2=49k^2+28k+4=7(7k^2+4k)+4 - остаток 4

y^2=49k^2+56k+16=7(7k^2+8k++2)+2 - остаток 2

4>2, больший остаток найден

ответ: 1 (остаток =2)

Задание № 3:

Два пешехода должны выйти навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 20 км. Если первый выйдет на полчаса раньше второго, то он встретит второго пешехода через 2,5 ч после своего выхода. Если второй выйдет на 1 ч раньше первого, то он встретит первого пешехода через 2 ч 40 мин после своего выхода. Какова скорость первого пешехода (в км/ч)?

пусть х  скорость первого (ее надо найти), у скорость второго

имеем систему

2.5x+2y=20 // так как первый шел 2,5 часа и вышел на полчаса раньше, то второй шел 2 часа

5x/3+8y/3=20 // так как второй шел 2 ч 40 мин и вышел на часраньше, то первый шел 1 ч 40 мин

 

5x+4y=40

5x+8y=60

 

4y=20

y=5

2.5x+2*5=20

2.5x=10

x=4

ответ: 4

 

Задание № 4:

Трехзначное число больше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, на 495. Сумма цифр этого трехзначного числа равна 17, а сумма квадратов его цифр равна 109. Найти такое трехзначное число.

это число abc

система:

100a+10b+c=100c+10b+c+495

a+b+c=17

a^2+b^2+c^2=109

 

a=c+5

c+5+b+c=17

(c+5)^2+b^2+c^2=109

 

b+2c=12

c^2+10c+25+b^2+c^2=109

 

b=12-2c

2c^2+10c+b^2-84=0

2c^2+10c+(12-2c)^2-84=0

2c^2+10c+144-48c+4c^2-84=0

6c^2-38c+60=0

3c^2-19c+30=0

D=361-4*3*30=1

c=(19+1)/6=20/6 не натуральное

c=(19-1)/6=3

b=12-2*3=6

a=3+5=8

ответ: 863

Задание № 5:

При каких значениях параметра b корень уравнения 6−3b+4bx=4b+12x меньше 1?

6-3b+4bx=4b+12x

4bx-12x=4b-6+3b

(4b-12)x=7b-6

x=(7b-6)/(4b-12)

(7b-6)/(4b-12)<1

(7b-6-4b+12)/(4b-12)<0

(3b+6)/(4b-12)<0

(b+2)/(b-3)<0

промежуток между корнями (-2; 3)

ответ: (-2; 3)

Задание № 6:

Диагональ равнобедренной трапеции является биссектрисой острого угла, а основания относятся как 1:2. Периметр трапеции равен 90. Найдите большую сторону трапеции.

меньшее основание х, большее основание 2х

если острый угол при основании 2А, то его половина, отсеченная биссектрисой А

сумма острого и тупого угла равнобедренной трапеции равна 180 градусов, значит тупой угол (180-2А)

теперь рассматриваем треугольник (со сторонами боковая сторона трапеции, ее меньшее основание и диагональ) с двумя известными углами А и (180-2А), находим третий угол - А - треугольник равнобедренный

боковыми сторонами этого треугольника являются боковая сторона трапеции и ее меньшее основание

значит и боковые стороны трапеции равны х

записываем периметр

х+х+х+2х=90

5х=90

х=18

большая сторона 2х=36

ответ: 36

Задание № 7:

Четырехугольник PQRS вписан в окружность. Диагонали PR и QS перпендикулярны и пересекаются в точке M. Известно, что PS=13, QM=10, QR=26. Найти площадь четырехугольника PQRS.

углы PRQ и PSQ опираются на одну и ту же дугу, значит они равны. кроме того диагонали перпендикулярны, значит в частности углы PMS и RMQ равны

тогда треугольники PMS и RMQ подобны

k=QR/PS=2

отношение k=QM/PM=2

10/PM=2; PM=5

отношение k=RM/SM=2

находим RM по т. Пифагора

RM=корень(QR^2-QM^2)=корень(26^2-10^2)=24

24/SM=2; SM=12

тогда полные диагонали:

QS=QM+SM=10+12=22

PR=PM+RM=5+24=29

площадь четырехугольника равна полупроизведению их диагоналей на синус угла между ними

S=(1/2)*22*29*sin90=319

ответ: 319

Answer 2

Задание №1:

Для решения данного уравнения, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Затем, привести уравнение к квадратному виду и решить его.

Решение: 1. Раскроем скобки: $(x^2 - x + 1)^2 - 10(x - 4)(x + 3) - 109 = 0$ $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 - 10(x^2 - x - 12) - 109 = 0$ $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 - 10x^2 + 10x + 120 - 109 = 0$ $x^4 - 2x^3 - 8x^2 + 8x + 12 = 0$

2. Приведем уравнение к квадратному виду: $x^4 - 2x^3 - 8x^2 + 8x + 12 = 0$ $(x^4 - 2x^3) - (8x^2 - 8x) + 12 = 0$ $x^3(x - 2) - 8x(x - 1) + 12 = 0$ $x^3(x - 2) - 8x(x - 1) + 12 = 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение: $x^3(x - 2) - 8x(x - 1) + 12 = 0$ $x^3(x - 2) - 8x^2 + 8x + 12 = 0$

Для решения данного уравнения требуется использовать численные методы или графический метод.

Ответ: Для данного уравнения не удалось найти аналитическое решение.

Задание №2:

Для решения данной задачи, необходимо рассмотреть два случая и определить, в каком из них остаток от деления числа $a^2$ на 7 будет больше.

Решение: 1. Пусть остаток от деления числа $a$ на 7 равен 2. Тогда $a = 7k + 2$, где $k$ - целое число. Тогда $a^2 = (7k + 2)^2 = 49k^2 + 28k + 4$. Остаток от деления $a^2$ на 7 равен остатку от деления $4$ на 7, то есть 4.

2. Пусть остаток от деления числа $a$ на 7 равен 4. Тогда $a = 7k + 4$, где $k$ - целое число. Тогда $a^2 = (7k + 4)^2 = 49k^2 + 56k + 16$. Остаток от деления $a^2$ на 7 равен остатку от деления $16$ на 7, то есть 2.

Таким образом, остаток от деления числа $a^2$ на 7 будет больше в случае, когда остаток от деления числа $a$ на 7 равен 2.

Ответ: 1 - если число $a$ при делении на 7 дает в остатке 2.