Question

Log 1/4(x+1)>или равно - 2log 1/16 2 +log 1/4(x^2+3x+8)

Answer 1

Сначала выпиши все условия области допустимых значений, посчитай, какие значения х может принимать.
Для этого вычисли: 
1) Система: 1-2х>0, 1-2х не равно 0, 6x^2-5x+1>0;

Answer 2

Давайте решим неравенство \( \log_{\frac{1}{4}}(x + 1) \geq -2\log_{\frac{1}{16}}(2) + \log_{\frac{1}{4}}(x^2 + 3x + 8) \).

Для упрощения неравенства, начнем с использования свойств логарифмов. Обратим внимание, что \(\log_{\frac{1}{16}}(2)\) можно записать как \(\frac{\log_2(2)}{\log_2\left(\frac{1}{16}\right)}\), и это равно -4.

Теперь мы можем подставить это значение и упростить неравенство:

\[ \log_{\frac{1}{4}}(x + 1) \geq -2 \cdot (-4) + \log_{\frac{1}{4}}(x^2 + 3x + 8) \] \[ \log_{\frac{1}{4}}(x + 1) \geq 8 + \log_{\frac{1}{4}}(x^2 + 3x + 8) \]

Теперь выразим один из логарифмов через другой. Используем свойство логарифма \(\log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}\):

\[ \frac{\log_{10}(x + 1)}{\log_{10}\left(\frac{1}{4}\right)} \geq 8 + \frac{\log_{10}(x^2 + 3x + 8)}{\log_{10}\left(\frac{1}{4}\right)} \]

Умножим обе стороны на \(\log_{10}\left(\frac{1}{4}\right)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[ \log_{10}(x + 1) \leq 8 \cdot \log_{10}\left(\frac{1}{4}\right) + \log_{10}(x^2 + 3x + 8) \]

Теперь сгруппируем логарифмы:

\[ \log_{10}(x + 1) \leq \log_{10}\left(\frac{1}{4}\right)^8 + \log_{10}(x^2 + 3x + 8) \]

Используем свойство логарифма \(\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c)\):

\[ \log_{10}(x + 1) \leq \log_{10}\left(\frac{1}{4}\right)^8 \cdot (x^2 + 3x + 8) \]

Теперь обе стороны уравнения имеют логарифмы с одинаковой базой. Мы можем избавиться от логарифмов, возводя обе стороны уравнения в 10:

\[ x + 1 \leq \left(\frac{1}{4}\right)^8 \cdot (x^2 + 3x + 8) \]

Теперь решим полученное квадратное уравнение и найдем интервалы, где выполняется неравенство. Обратите внимание, что мы также должны удостовериться, что аргументы логарифмов положительны, поэтому \(x + 1 > 0\) и \(x^2 + 3x + 8 > 0\).

После нахождения корней уравнения и учитывая условия, мы можем определить интервалы, где выполняется исходное неравенство.