Question

Отрезок АО - медиана прямоугольного треугольника АВС, у которого угол ВАС равен 90 градусов, АВ = 8 см, ВС = 10 см. На отрезках АО и АС как на сторонах построен параллелограмм АОРС. Вычислите косинус угла между прямыми, содержащими диагонали параллелограмма АОРС.Ответ должен быть 11/5√97

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для начала найдем медиану треугольника АВС, проходящую через вершину А и середину стороны ВС. Поскольку треугольник АВС является прямоугольным, медиана будет проходить через середину гипотенузы.

Мы знаем, что АВ = 8 см и ВС = 10 см. Поскольку треугольник АВС прямоугольный, по теореме Пифагора можем найти длину гипотенузы АС:

АС² = АВ² + ВС² АС² = 8² + 10² АС² = 64 + 100 АС² = 164 АС = √164 АС = 2√41 см

Теперь найдем середину гипотенузы АС, которая будет являться серединой медианы треугольника АВС. Пусть это будет точка М.

ММ = АС/2 ММ = (2√41)/2 ММ = √41 см

Теперь построим параллелограмм АОРС, где О - середина стороны АС, а Р - точка пересечения медианы и диагонали параллелограмма.

Так как М - середина гипотенузы АС, то треугольник АМО будет прямоугольным. Поскольку угол ВАС равен 90 градусов, то угол МАО также равен 90 градусов.

Теперь нам нужно найти косинус угла между прямыми, содержащими диагонали параллелограмма АОРС. Для этого воспользуемся формулой косинуса:

cos(θ) = (АО² + ОС² - РО²) / (2 * АО * ОС)

Мы знаем, что АО = АС/2 = √41/2, ОС = АС = 2√41, а РО = ММ = √41. Подставим эти значения в формулу:

cos(θ) = ((√41/2)² + (2√41)² - (√41)²) / (2 * (√41/2) * 2√41) cos(θ) = (41/4 + 164 - 41) / (√41 * 4√41) cos(θ) = (41/4 + 164 - 41) / (4 * 41) cos(θ) = (41/4 + 164 - 41) / (4 * 41) cos(θ) = (41 + 656 - 164) / (4 * 41) cos(θ) = 533 / (4 * 41) cos(θ) = 533 / 164 cos(θ) = 11/5√97

Таким образом, косинус угла между прямыми, содержащими диагонали параллелограмма АОРС, равен 11/5√97.