Question

Докажите, что сумма шести последовательных натуральных нечетных чисел делится на 12

Answer 1

(2х+1)+(2х+3)+(2х+5)+(2х+7)+(2х+9)+(2х+11)=12х+36=12(х+3), а значит кратно 12
2х - четное число, значит 2х+1 - нечетное

Answer 2

Давайте обозначим первое нечетное натуральное число как \(n\). Тогда шесть последовательных нечетных натуральных чисел будут:

\[n, n + 2, n + 4, n + 6, n + 8, n + 10.\]

Суммируем эти числа:

\[S = n + (n + 2) + (n + 4) + (n + 6) + (n + 8) + (n + 10).\]

Объединим похожие члены:

\[S = 6n + (2 + 4 + 6 + 8 + 10).\]

Теперь найдем сумму арифметической прогрессии от 2 до 10. Для этого воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:

\[S_{\text{арифм}} = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n-1)d),\]

где \(a\) - первый член прогрессии, \(n\) - количество членов, \(d\) - шаг (разность между членами).

В данном случае \(a = 2\), \(n = 5\) (так как у нас 5 дополнительных членов после \(n\)), и \(d = 2\).

\[S_{\text{арифм}} = \frac{5}{2} \cdot (2 \cdot 2 + (5-1) \cdot 2) = 5 \cdot (4 + 8) = 60.\]

Теперь вернемся к общей сумме \(S\):

\[S = 6n + (2 + 4 + 6 + 8 + 10) = 6n + 30.\]

Теперь у нас есть выражение для суммы шести последовательных нечетных натуральных чисел. Теперь докажем, что она делится на 12.

Чтобы доказать, что \(S\) делится на 12, докажем, что она делится и на 3 и на 4.

1. Деление на 3: Сумма нечетных чисел \(6n\) делится на 3, так как она уже кратна 3.

2. Деление на 4: Рассмотрим остаток от деления \(6n + 30\) на 4. Обратим внимание, что \(6n\) делится на 4, так как 6 делится на 4. Теперь посмотрим на \(30\). Он делится на 4 с остатком 2. Таким образом, \(6n + 30\) дает остаток 2 при делении на 4.

Таким образом, сумма шести последовательных нечетных натуральных чисел \(S = 6n + 30\) делится и на 3, и на 4. Поскольку 3 и 4 взаимно просты, то \(S\) также делится на их произведение, то есть на 12.