Question

Найдите целые решения уравнения:x2-11y2+11=10xy

Answer 1

Как легко ето ривняння за пятий класс!!!

Answer 2

Данное уравнение представляет собой квадратное диофантово уравнение. Целочисленные решения такого уравнения требуют, чтобы значения x и y были целыми числами.

Для начала приведем уравнение к каноническому виду. Перенесем все члены в одну сторону:

x^2 - 10xy - 11y^2 + 11 = 0

Чтобы найти целочисленные решения этого уравнения, мы можем воспользоваться методом Брахмагупты. Этот метод основан на связи между квадратичными формами и пифагоровыми тройками.

Для уравнения вида Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0, мы можем найти целочисленные решения, если существует такое целое число m, что выражение B^2 - 4AC делится на m^2.

В нашем случае, уравнение имеет вид x^2 - 10xy - 11y^2 + 11 = 0. Здесь A = 1, B = -10, C = -11.

Вычислим выражение B^2 - 4AC:

(-10)^2 - 4(1)(-11) = 100 + 44 = 144 = 12^2

Мы видим, что 144 делится на 12^2, поэтому у нас есть шанс найти целочисленные решения.

Теперь применим метод Брахмагупты. Рассмотрим выражение (x - my)^2 - 11y^2 + 11 = 0, где m - некоторое целое число.

Раскроем скобки:

x^2 - 2mxy + m^2y^2 - 11y^2 + 11 = 0

Теперь сгруппируем подобные члены:

(x^2 - 11y^2) + (-2mxy + m^2y^2) + 11 = 0

Подставим значение x^2 - 11y^2 = -11 в уравнение:

-11 + (-2mxy + m^2y^2) + 11 = 0

-2mxy + m^2y^2 = 0

Теперь мы видим, что у нас есть пифагорова тройка (-2mx, y, m^2y). Если мы сможем найти такие целые числа m и y, которые удовлетворяют этому условию, то мы найдем целочисленные решения исходного уравнения.

Попробуем найти целочисленные значения m и y. Возьмем m = 2:

-4xy + 4y^2 = 0

4y(y - x) = 0

Отсюда видно, что либо y = 0, либо y = x.

1) Если y = 0, то из уравнения x^2 - 11y^2 + 11 = 0 следует, что x^2 + 11 = 0, что невозможно для целых чисел x.

2) Если y = x, то уравнение примет вид:

x^2 - 11x^2 + 11 = 0

-10x^2 + 11 = 0

x^2 = 11/10

Это уравнение не имеет целочисленных решений.

Таким образом, данное уравнение x^2 - 10xy - 11y^2 + 11 = 0 не имеет целочисленных решений.