Question

Точка A лежит на стороне PR остроугольного треугольника PQR. AL – биссектриса треугольника APQ, AH – высота треугольника AQR. Найдите HR , если QR = 15, а угол LAH 90

Answer 1

AH⊥QR; AH⊥LA⇒LA║QR⇒∠R=∠PAL, ∠RQA=∠QAL. Но AL - биссектриса⇒
∠QAL=∠PAL⇒∠R=∠RQA⇒ΔRAQ - равнобедренный⇒высота AH является медианой⇒HR=QR/2=15/2

Ответ: 15/2

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами биссектрисы и высоты треугольника.

По определению биссектрисы треугольника, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника. В данном случае AL - биссектриса треугольника APQ, поэтому отношение длины отрезка PL к длине отрезка AQ будет равно отношению длины стороны PQ к стороне AQ:

PL / AQ = PQ / AQ

Так как PQ = QR + RP, а AQ = QR, то получаем:

PL / QR = (QR + RP) / QR

PL / QR = 1 + RP / QR

Так как угол PQR острый, то сторона QR является гипотенузой прямоугольного треугольника PQR, а сторона RP - катетом. По теореме Пифагора:

QR^2 = RP^2 + PQ^2

QR^2 = RP^2 + (QR + RP)^2

QR^2 = RP^2 + QR^2 + 2QR·RP + RP^2

QR^2 - QR^2 = 2RP·QR + 2RP^2

2QR·RP = QR^2 - RP^2

RP / QR = (QR^2 - RP^2) / (2QR)

Подставляем это значение в предыдущее равенство:

PL / QR = 1 + (QR^2 - RP^2) / (2QR)

PL / QR = (2QR + QR^2 - RP^2) / (2QR)

PL / QR = (QR^2 + 2QR - RP^2) / (2QR)

Так как AL - биссектриса треугольника APQ, то угол P = углу APL, поэтому треугольники PQR и PRL подобны. Поэтому:

QR / PL = PR / RL

PL = QR·RL / PR

PL = QR·RL / HR

Подставляем это значение в предыдущее равенство:

(QR^2 + 2QR - RP^2) / (2QR) = QR·RL / HR

QR^2 + 2QR - RP^2 = QR^2·RL / HR

QR^2·RL = HR·(QR^2 + 2QR - RP^2)

HR = QR^2·RL / (QR^2 + 2QR - RP^2)

В данной задаче известны значения QR = 15 и угол LAH = 90°. Так как угол LAH = 90°, то треугольник AQR является прямоугольным, а значит, сторона AQ является гипотенузой прямоугольного треугольника AQR, а сторона QR - катетом. По теореме Пифагора:

AQ^2 = QR^2 + AR^2

AR^2 = AQ^2 - QR^2

AR^2 = 15^2 - 15^2

AR^2 = 0

Таким образом, получаем, что сторона AR равна 0. Это означает, что точка R совпадает с точкой Q, а треугольник PQR вырождается в отрезок PQ.

Следовательно, HR = PQ = QR = 15.