Question

Один из катетов прямоугольного треугольника на 3 см больше другого, а гипотенуза 15 см. Найдите катеты.

Answer 1

а, b - катеты прямоугольного треугольника

с - гипотенуза прямоугольного треугольника

-------------------------------------------------------

а - ? см

b - ?, на 3 cм >

c=15 см

Решение:

$b=a+3$

 

по теореме Пифагора: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

 

подставляем все известные данные в формулу

 

$a^{2}+(a+3)^{2}=15^{2}$

 

раскрываем скобки

 

$a^{2}+a^{2}+6a+9=225$

 

перенесём всё в левую часть и приравняем уравнение к нулю, при этом не забываем сменить знак на противоположный

 

$a^{2}+a^{2}+6a+9-225=0$

 

 

$(a^{2}+a^{2})+6a+(9-225)=0$

 

$2a^{2}+6a-216=0$

 

$2(a^{2}+3a-108)=0$

 

$a^{2}+3a-108=0$

 

Квадратное уравнение имеет вид:$ax^{2}+bx+c=0$

 

Cчитаем дискриминант:

 

$D=b^{2}-4ac=3^{2}-4\cdot1\cdot(-108)=9+432=441$

 

Дискриминант положительный

 

$\sqrt{D}=21$

 

Уравнение имеет два различных корня:

 

$a_{1}=\frac{-3+21}{2\cdot1}=\frac{18}{2}=9$

 

$a_{2}=\frac{-3-21}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12$

 

не удовлетворяет условию задачи, так как катет не может быть отрицательным, следовательно

 

$a=9$

 

$b=a+3=9+3=12$

 

Ответ: 9 и 12 - катеты прямоугольного треугольника.

Проверка:

9²+12²=15²

81+144=225

225=225

Answer 2

Пусть один из катетов равен x см. Тогда другой катет будет равен (x + 3) см.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

x^2 + (x + 3)^2 = 15^2

Раскроем скобки:

x^2 + x^2 + 6x + 9 = 225

Соберем все члены в левую часть уравнения:

2x^2 + 6x + 9 - 225 = 0

2x^2 + 6x - 216 = 0

Разделим все коэффициенты на 2:

x^2 + 3x - 108 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = 3, c = -108

D = 3^2 - 4 * 1 * (-108) = 9 + 432 = 441

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня:

x1 = (-b + √D) / 2a x2 = (-b - √D) / 2a

x1 = (-3 + √441) / 2 = (-3 + 21) / 2 = 18 / 2 = 9 x2 = (-3 - √441) / 2 = (-3 - 21) / 2 = -24 / 2 = -12

Так как длина не может быть отрицательной, отбрасываем отрицательное значение -12.

Итак, один из катетов равен 9 см, а другой катет равен 9 + 3 = 12 см.