Question

Помогите с решением задачи по теме вероятности. (нужен ход самого решения) (это не школьный курс)(высшая математика) При отклонении от штатного режима работы поточной линии срабатывают сигнализатор типа Т-1 с вероятностью 0,9 и сигнализатор типа Т-2 с вероятностью 0,8. Вероятности того, что линия снабжена сигнализаторами типов Т-1 и Т-2, равны соответственно 0,7 и 0,3. а) Найти вероятность того, что при отклонении от штатного режима работы сигнализатор сработает, б) Сигнализатор сработал. К какому типу он вероятнее всего принадлежит?

Answer 1

Событие Н1  - " линия снабжена сигнализаторами типа Т-1"
Событие Н2  - " линия снабжена сигнализаторами типа Т-2"
Вероятности равны соответственно: р(Н1)=0,7 р(Н2)=0,3
Событие А  - " при отклонении от штатного режима работы сигнализатор сработает"
Условная вероятность события А при условии что произойдет событие Н1, то есть при отклонении от штатного режима работы поточной линии срабатывает сигнализатор типа Т-1 равна р(А/Н1)= 0,9.
Условная вероятность события А при условии что произойдет событие Н2, то есть при отклонении от штатного режима работы поточной линии срабатывает сигнализатор типа Т-2 равна при р(А/Н2)= 0,8.
а) Вероятность того, что при отклонении от штатного режима работы сигнализатор сработает определяется по формуле полной вероятности:
р(А) = р(Н1)*р(А/Н1)+р(Н2)*р(А/Н2)=0,7*0,9+0,3*0,8=0,87
б) Сигнализатор сработал. К какому типу он вероятнее всего принадлежит? Для ответа на данный вопрос необходимо рассчитать условную вероятность событий Н1 и Н2  при условии, что событие А произошло.
Для этого воспользуемся формулой Байеса: 
р(Н1/А) = р(Н1)*р(А/Н1)/р(А)=0,7*0,9/0,87=21/29
р(Н2/А) = р(Н2)*р(А/Н2)/р(А)=0,3*0,8/0,87=8/29
Так как 21/29>8/29, то если сигнализатор сработал, то он вероятнее всего принадлежит к типу Т-1

Answer 2

Задача по вероятности

Дано: - Вероятность срабатывания сигнализатора типа Т-1 при отклонении от штатного режима работы равна 0,9. - Вероятность срабатывания сигнализатора типа Т-2 при отклонении от штатного режима работы равна 0,8. - Вероятность того, что линия снабжена сигнализаторами типов Т-1 и Т-2, равна соответственно 0,7 и 0,3.

а) Найти вероятность того, что при отклонении от штатного режима работы сигнализатор сработает. б) Сигнализатор сработал. К какому типу он вероятнее всего принадлежит?

Решение:

а) Чтобы найти вероятность того, что при отклонении от штатного режима работы сигнализатор сработает, мы можем использовать формулу полной вероятности. Формула полной вероятности гласит:

P(A) = P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) * P(B2) + ... + P(A|Bn) * P(Bn)

где P(A) - вероятность события A, P(A|Bi) - вероятность события A при условии события Bi, P(Bi) - вероятность события Bi.

В данном случае, событие A - сигнализатор сработает, событие B1 - линия снабжена сигнализатором типа Т-1, событие B2 - линия снабжена сигнализатором типа Т-2.

Таким образом, вероятность того, что сигнализатор сработает, можно выразить следующим образом:

P(сигнализатор сработает) = P(сигнализатор сработает|линия снабжена сигнализатором типа Т-1) * P(линия снабжена сигнализатором типа Т-1) + P(сигнализатор сработает|линия снабжена сигнализатором типа Т-2) * P(линия снабжена сигнализатором типа Т-2)

Подставляя значения, получаем:

P(сигнализатор сработает) = 0,9 * 0,7 + 0,8 * 0,3

Вычисляя данное выражение, получаем:

P(сигнализатор сработает) = 0,63 + 0,24 = 0,87

Таким образом, вероятность того, что при отклонении от штатного режима работы сигнализатор сработает, равна 0,87.

б) Чтобы определить к какому типу сигнализатора вероятнее всего принадлежит сработавший сигнализатор, мы можем использовать формулу условной вероятности. Формула условной вероятности гласит:

P(Bi|A) = P(A|Bi) * P(Bi) / P(A)

где P(Bi|A) - вероятность события Bi при условии события A, P(A|Bi) - вероятность события A при условии события Bi, P(Bi) - вероятность события Bi, P(A) - вероятность события A.

В данном случае, событие A - сигнализатор сработал, событие Bi - линия снабжена сигнализатором типа Т-i.

Таким образом, вероятность того, что сработавший сигнализатор принадлежит к типу Т-1, можно выразить следующим образом:

P(сигнализатор принадлежит к типу Т-1|сигнализатор сработал) = P(сигнализатор сработал|линия снабжена сигнализатором типа Т-1) * P(линия снабжена сигнализатором типа Т-1) / P(сигнализатор сработал)

Подставляя значения, получаем:

P(сигнализатор принадлежит к типу Т-1|сигнализатор сработал) = 0,9 * 0,7 / 0,87

Вычисляя данное выражение, получаем:

P(сигнализатор принадлежит к типу Т-1|сигнализатор сработал) ≈ 0,7931

Таким образом, сигнализатор сработал, и с вероятностью около 0,7931 он принадлежит к типу Т-1.

Источники: