Question

Ln(4x-2)*sqrt(x^2-4x+4a-a^2)=0 При каких значениях а уравнение имеет один корень на промежутке [0;2]?

Answer 1

Уравнение равносильно совокупности уравнений:
4x-2=1 или x^2-4x+4a-a^2=0
уравнение определено на множестве:
x>0,5 и x^2-4x+4a-a^2>=0 
На [0,2] уравнение всегда имеет корень x=0.75
Для того, чтобы этот корень был единственным нужно чтобы:
1. уравнение  x^2-4x+4a-a^2>=0  не имело решений вообще (отрицательный дискриминант)
2. имело единственный корень совпадающий с 0,75
3. имело один корень совпадающий с 0,75, а второй вне отрезка  [0,2]
4. имело два корня и оба вне отрезка [0,2]
Случай 1:  невозможен так как D=4(a-2)^2 число неотрицательное
Случай 2: D=0 значит (x-2)^2=0 откуда корень x=2 - второй корень в отрезке [0,2] следовательно a не равно 2.
Случай 3: решая уравнение x^2-4x+4a-a^2=0 находим корни
x1=a, x2=6-a, Если a=0.75 то первый корень совпадет с корнем 0,75, а второй 6-0,75=5,25 расположен вне отрезка [0,2] что нам и нужно
Если x2=6-a=0,75, то а=6,75, следовательно первый корень x1=a=6.75 расположен вне отрезка [0,2] что нам и нужно. Следовательно оба этих значения подходят.
Случай 4: должно выполняться x1<0.5 и x2>2 или наоборот x1>0.5 и x2<2. Рассмотрим их отдельно.
Если x1<0.5 и x2>2  то  a<0.5 и 6-a>2  откуда  a<0.5 и 4>a получаем а<0.5
Если x1>0.5 и x2<2 то a>0.5 и 6-a<2 откуда a>0.5 и а>4. получаем а>4
Теперь собираем все полученные значения:
a∈(-∞,0.5)∪{0.75}∪(4,∞) 

Answer 2

Уравнение Ln(4x-2)*sqrt(x^2-4x+4a-a^2)=0 имеет один корень на промежутке [0;2] при определенных значениях a. Чтобы найти эти значения, мы должны решить уравнение.

Решение уравнения:

1. Разделим уравнение на два множителя: Ln(4x-2) = 0 и sqrt(x^2-4x+4a-a^2) = 0. 2. Рассмотрим первое уравнение Ln(4x-2) = 0. Логарифм равен нулю только если его аргумент равен 1. Таким образом, 4x-2 = 1. 3. Решим это уравнение относительно x: 4x = 3, x = 3/4. 4. Теперь рассмотрим второе уравнение sqrt(x^2-4x+4a-a^2) = 0. Квадратный корень равен нулю только если его аргумент равен нулю. Таким образом, x^2-4x+4a-a^2 = 0. 5. Подставим найденное значение x = 3/4 в это уравнение: (3/4)^2 - 4(3/4) + 4a - a^2 = 0. 6. Упростим это уравнение: 9/16 - 12/4 + 4a - a^2 = 0. 7. Приведем подобные слагаемые: -3/16 + 4a - a^2 = 0. 8. Перенесем все слагаемые влево и получим квадратное уравнение: a^2 - 4a + 3/16 = 0. 9. Решим это уравнение относительно a. Мы можем использовать квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a = 1, b = -4 и c = 3/16. 10. Найдем дискриминант D: D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(3/16) = 16/16 - 12/16 = 4/16 = 1/4. 11. Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня. Если D = 0, то уравнение имеет один корень. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней. 12. В нашем случае D = 1/4 > 0, поэтому уравнение имеет два различных корня. 13. Решим квадратное уравнение a^2 - 4a + 3/16 = 0. Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения: a = (-b ± sqrt(D))/(2a). 14. Подставим значения a = 1, b = -4 и D = 1/4 в формулу и найдем корни: a = (4 ± sqrt(1/4))/(2*1) = (4 ± 1/2)/2 = (8 ± 1)/4. 15. Получаем два значения a: a1 = (8 + 1)/4 = 9/4 и a2 = (8 - 1)/4 = 7/4.

Ответ:

Уравнение Ln(4x-2)*sqrt(x^2-4x+4a-a^2)=0 имеет один корень на промежутке [0;2] при значениях a = 9/4 и a = 7/4.