Question

Найдите наименьшее натуральное число, имеющее ровно 55 натуральных делителей, считая единицу и само число.

Answer 1

В искомом числе это произведение равно 55=11*5, т.е. либо число состоит из одного простого, и тогда a1+1=55, либо число состоит из двух простых, и тогда a1+1=5 и a1+1=11 . Чтобы число было наименьшим, простые, входящие в его разложение, должны быть минимально возможными, т.е. равны 2 и 3, причем у большего простого должна быть меньшая степень. Таким образом, возможны два варианта для  искомого числа: n=2⁵⁴ или n=2¹⁰*3⁴. Поскольку второе число, очевидно, меньше первого, то ответ 2¹⁰*3⁴=82944.

Answer 2

Чтобы найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 55 натуральных делителей, мы можем использовать следующий подход:

1. Разложите число 55 на простые множители. 55 = 5 * 11.

2. Найдите все возможные комбинации степеней простых множителей, которые могут дать 55 делителей. В данном случае у нас есть два простых множителя (5 и 11), поэтому у нас есть две комбинации:

- Первая комбинация: 5^54 - Вторая комбинация: 11^54

3. Вычислите числа, соответствующие этим комбинациям. Для первой комбинации число будет равно 5^54 = 1,125,899,906,842,624. Для второй комбинации число будет равно 11^54 = 2,482,534,949,375,611,087,779,200,000,000,000,000,000.

4. Сравните полученные числа и выберите наименьшее. В данном случае наименьшее число, имеющее ровно 55 натуральных делителей, будет 1,125,899,906,842,624.

Таким образом, наименьшее натуральное число, имеющее ровно 55 натуральных делителей, равно 1,125,899,906,842,624.