Question

Найти обьем правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна 10√3, а боковое ребро равно √103

Answer 1

 В основании пирамиды - правильный треугольник со стороной 10√3.
Центр тяжести правильного треугольника приходится на точку пересечения его медиан, высот, биссектрис. Она делит эти отрезки  в отношении 2:1 считая от вершины. По теореме Пифагора находим высоту правильного треугольника с гипотенузой 10√3 и катетом 5√3. Второй катет равен 15 = √(300 - 75). Значит, центр тяжести находится в 10 от вершины. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковому ребру √103 и катетом, равным 10.
Высота пирамиды равна √(103 - 100) = √3. 
Объём пирамиды вычисляем по формуле
1/3 * Sосн.*H = 1/3 * (10√3)² √3/4 * √3 = 1/3*100*3*3/4 = 75.
Объём пирамиды 75.

Answer 2

Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды можно использовать следующую формулу:

V = (1/3) * A * h,

где V - объем пирамиды, A - площадь основания, h - высота пирамиды.

В данном случае, сторона основания равна 10√3, а боковое ребро равно √103.

Чтобы найти площадь основания пирамиды, можно воспользоваться формулой для площади равностороннего треугольника:

A = (a^2 * √3) / 4,

где a - сторона треугольника.

Подставив значения, получим:

A = (10√3)^2 * √3 / 4 = (300 * √3) / 4 = 75√3.

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды. Для этого можно использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного половиной бокового ребра, половиной стороны основания и высотой пирамиды:

h^2 = (√103)^2 - (10√3 / 2)^2 = 103 - 300 / 4 = 103 - 75 = 28.

h = √28 = 2√7.

Теперь мы можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) * 75√3 * 2√7 = 50√3 * √7 = 50√21.

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды равен 50√21.