Question

Log2(2x+15)меньшеlog2(5x)+log2(x-4)

Answer 1

$2x+15 \ \textless \ 5x(x-4) \\ 2x+15 \ \textless \ 5x^{2}-20x \\ 5x^{2}-22x-15 \ \textgreater \ 0 \\ D = 784 \\ x_{1} = 5 \\ x_{2} = -0.6$

x ∈ (-∞; -0.6) + (5; ∞)

Answer 2

Давайте разберемся с вашим математическим выражением. У вас дано неравенство:

\[ \log_2(2x + 15) < \log_2(5x) + \log_2(x - 4) \]

Для решения данного неравенства, мы можем использовать свойства логарифмов. Одним из таких свойств является свойство логарифма произведения, которое гласит:

\[ \log_b(A \cdot C) = \log_b(A) + \log_b(C) \]

Мы можем использовать это свойство, чтобы объединить два последних логарифма в правой части:

\[ \log_2(2x + 15) < \log_2(5x) + \log_2(x - 4) \]

\[ \log_2(2x + 15) < \log_2(5x \cdot (x - 4)) \]

Теперь мы можем преобразовать это неравенство снова, используя свойство логарифма отношения:

\[ \log_b(A) < \log_b(C) \Rightarrow A < C \]

\[ 2x + 15 < 5x \cdot (x - 4) \]

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Распишем его и приведем подобные члены:

\[ 2x + 15 < 5x^2 - 20x \]

\[ 0 < 5x^2 - 22x - 15 \]

Теперь решим это квадратное неравенство. Мы можем использовать факторизацию, выделение полного квадрата или квадратное уравнение:

\[ 5x^2 - 22x - 15 = (5x + 3)(x - 5) \]

Теперь у нас есть два множителя, и мы можем определить интервалы, на которых неравенство будет выполняться. Неравенство изменяет знак при изменении множителя. Таким образом, у нас есть три интервала:

1. \( 5x + 3 > 0 \) и \( x - 5 > 0 \) 2. \( 5x + 3 < 0 \) и \( x - 5 < 0 \) 3. \( 5x + 3 > 0 \) и \( x - 5 < 0 \)

Решив каждое из этих неравенств, мы получим интервалы, на которых исходное неравенство выполняется. Помним, что мы начали с предположения, что \( x \) - это вещественное число, и поэтому нужно проверить, не нарушаются ли знаменатели в логарифмах.