Question

Дано выпуклый четырехугольник ABCD, у которого угол BAC равен углу BCA, а угол DAC равен углу BDA, угол DBA составляет 3 угла DBC. Найти угол DAC

Answer 1

Пусть угол САД = х, а угол САВ = у, АВ = ВС = а.

Из равнобед. тр-ка АВС выразим АС:

АС = 2а*cosу.  Из условия угол АВС = 4* уголДВС = 4*(2х-у) = 8х-4у ( так как угол ДВС = угол СОД - у, а угол СОД = 2х - по свойству внешнего угла треугольника, который равен сумме двух внутренних). Теперь применяя для тр. АВС теорему синусов: АС/синАВС = а/сину, или (2а* косу)/син(8х-4у) = а/сину.  Получим отсюда уравнение: 2у = 8х-4у.

4х=3у.

Получим еще одно уравнение для этих неизвестных, используя чисто угловые соотношения в треугольнике. Из тр-ка АВС угол АВС = 180 - 2у. Приравняв к полученному ранее 8х-4у, получим :

4х-у = 90 Решив полученную систему, найдем: 

х=33,75 гр

у = 45 гр.

Ответ: 33,75 гр.