Question

Найти область определения функции y= log3 (-4-3x+x^2) + log2 (5-4x-x^2)

Answer 1

Y=log₃(-4-3x+x²)+log₂(5-4x-x²)
ОДЗ:
-4-3x+x²>0
x²-3x-4=0 D=25  x₁=4   x₂=-1  ⇒
(x-4)(x+1)>0 
-∞______+_____-1______-______4______+______+∞
x∈(-∞;-1)U(4;+∞).
5-4x-x²>0  |×(-1)
x²+4x-5<0
x²+4x-5=0   D=36   x₁=1    x₂=-5  ⇒
(x-1)(x+5)<0  
-∞______+_______-5______-_______1______+_______+∞ 
x∈(-5;1)   ⇒
Ответ:  x∈(-5;-1).

Answer 2

Чтобы найти область определения функции y=log3(-4-3x+x^2)+log2(5-4x-x^2), нужно решить два условия: аргументы логарифмов должны быть положительными и не равными нулю, а также выражения под логарифмами не должны равняться нулю одновременно.

1. Аргументы логарифмов должны быть положительными и не равными нулю: -4-3x+x^2 > 0 (условие для логарифма по основанию 3) 5-4x-x^2 > 0 (условие для логарифма по основанию 2)

2. Выражения под логарифмами не должны равняться нулю одновременно: -4-3x+x^2 ≠ 0 (условие для обоих логарифмов) 5-4x-x^2 ≠ 0 (условие для обоих логарифмов)

Решим каждое из этих условий по отдельности.

1. Аргументы логарифмов должны быть положительными и не равными нулю:

Для первого условия -4-3x+x^2 > 0: -4-3x+x^2 = (x-1)(x-4) > 0

Найдем значения x, при которых (x-1)(x-4) > 0. Для этого построим таблицу знаков:

x | (x-1)(x-4) ________________________ x < 1 | + 1 < x < 4| - x > 4 | +

Таким образом, неравенство (x-1)(x-4) > 0 выполняется при x < 1 и x > 4.

Для второго условия 5-4x-x^2 > 0: 5-4x-x^2 = -(x+5)(x-1) > 0

Аналогично построим таблицу знаков:

x | -(x+5)(x-1) ________________________ x < -5 | - -5 < x < 1| + x > 1 | -

Таким образом, неравенство -(x+5)(x-1) > 0 выполняется при -5 < x < 1.

2. Выражения под логарифмами не должны равняться нулю одновременно:

Для первого условия -4-3x+x^2 ≠ 0: -4-3x+x^2 = (x+2)(x-2) ≠ 0

Таким образом, (x+2)(x-2) ≠ 0 при любых значениях x, кроме x = -2 и x = 2.

Для второго условия 5-4x-x^2 ≠ 0: 5-4x-x^2 = -(x+1)(x-5) ≠ 0

Таким образом, -(x+1)(x-5) ≠ 0 при любых значениях x, кроме x = -1 и x = 5.

Итак, область определения функции y=log3(-4-3x+x^2)+log2(5-4x-x^2) состоит из всех значений x, которые удовлетворяют следующим условиям: -5 < x < -2, -2 < x < 1, 1 < x < 2, 2 < x < 4, 4 < x < 5.