Question

Верно ли, что при любом четном x число x^8+9x^5+8x^2 делится на 288. докажите это.

Answer 1

288=32*9. Докажем сначала, что число делится на 32.
Если x=2k, то, подставив 2k в уравнение, получим 256k⁸+288k⁵+32k². Очевидно, что это число на 32 делится. Осталось доказать, что 8k⁸+9k⁵+k² делится на 9 при любом натуральном k.

9k⁵ делится на 9 при любом натуральном k. Докажем, что 8k⁸+k² делится на 9 при любом натуральном k. Если k делится на 3, это, очевидно, так. Если k даёт остаток 1 при делении на 3, то у числа 8k⁸+k² остаток будет 8+1=9, то есть число делится на 9 нацело. Наконец, если число k даёт остаток 2 при делении на 3, то у числа 8k⁸+k² остаток будет 2048+4=2052, 2052 делится на 9, значит, и число делится на 9.

Таким образом, данное число при любом чётном x делится на 9 и на 32, значит, оно делится и на 288.

Answer 2

Да, верно, что при любом четном числе x, число x^8 + 9x^5 + 8x^2 делится на 288.

Давайте докажем это.

Доказательство:

1. Пусть x - четное число. Тогда x можно представить в виде x = 2k, где k - целое число.

2. Заменим x в выражении x^8 + 9x^5 + 8x^2 на 2k:

x^8 + 9x^5 + 8x^2 = (2k)^8 + 9(2k)^5 + 8(2k)^2

3. Раскроем скобки и упростим выражение:

(2k)^8 + 9(2k)^5 + 8(2k)^2 = 256k^8 + 1152k^5 + 32k^2

4. Заметим, что каждый член выражения делится на 32 (так как 256, 1152 и 32 делятся на 32 без остатка).

256k^8 делится на 32, так как 256 делится на 32 без остатка. 1152k^5 делится на 32, так как 1152 делится на 32 без остатка. 32k^2 делится на 32, так как 32 делится на 32 без остатка.

5. Таким образом, каждый член выражения делится на 32.

6. Теперь рассмотрим деление на 9. Заметим, что каждый член выражения также делится на 9.

256k^8 делится на 9, так как 256 делится на 9 без остатка. 1152k^5 делится на 9, так как 1152 делится на 9 без остатка. 32k^2 делится на 9, так как 32 делится на 9 без остатка.

7. Итак, каждый член выражения делится и на 32, и на 9.

8. Поскольку 32 и 9 взаимно простые числа, то их произведение, равное 288, также делит каждый член выражения.