Question

Решить уравнение 3sinx = 2(1-cosx)

Answer 1

По формуле двойного аргумента
cos x = 1 - 2sin^2 (x/2)
1 - 2sin^2 (x/2) + 3sin (x/2) + 1 = 0
2sin^2 (x/2) - 3sin (x/2) - 2 = 0
Квадратное уравнение
D = 9 + 4*2*2 = 9 + 16 = 25
sin (x/2) = (3 - 5)/4 = -2/4 = -1/2
sin (x/2) = (3 + 5)/4 = 2 - не подходит

sin (x/2) = -1/2
[ x/2 = -Pi/6 + 2Pi*k
[ x/2 = 7Pi/6 + 2Pi*k

x1 = -Pi/3 + 4Pi*k
x2 = 7Pi/3 + 4Pi*k

Answer 2

Давайте решим уравнение 3sinx = 2(1-cosx) подробно.

Шаг 1: Раскроем скобки в правой части уравнения:

3sinx = 2 - 2cosx

Шаг 2: Перенесем все члены синуса на одну сторону уравнения:

3sinx + 2cosx = 2

Шаг 3: Преобразуем выражение с помощью тригонометрических тождеств. Воспользуемся формулой синуса двойного угла и формулой косинуса двойного угла:

2sinxcosx + 2cos^2(x) - 2sin^2(x) = 2

Шаг 4: Заменим косинусы и синусы в выражении с помощью известных тригонометрических соотношений:

2sinxcosx + 2(1 - sin^2(x)) - 2sin^2(x) = 2

Шаг 5: Упростим полученное уравнение:

2sinxcosx + 2 - 2sin^2(x) - 2sin^2(x) = 2

2sinxcosx - 4sin^2(x) + 2 = 2

Шаг 6: Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

2sinxcosx - 4sin^2(x) = 0

Шаг 7: Факторизуем полученное выражение:

2sinx(cosx - 2sinx) = 0

Шаг 8: Разобьем полученное уравнение на два отдельных уравнения:

1. sinx = 0 2. cosx - 2sinx = 0

Шаг 9: Решим каждое из полученных уравнений:

1. sinx = 0:

Углы, при которых sinx = 0, это 0, π, 2π, 3π и т.д.

2. cosx - 2sinx = 0:

Для решения этого уравнения можно использовать известное соотношение sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Заменим cos^2(x) в уравнении:

cosx - 2(1 - sin^2(x)) = 0

cosx - 2 + 2sin^2(x) = 0

2sin^2(x) + cosx - 2 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта или других методов решения квадратных уравнений.

Получим два возможных решения: a. sinx = 1/2 и cosx = 3/2 (Нет решения, так как cosx не может быть больше 1) b. sinx = -1/2 и cosx = 1/2 Угол, при котором sinx = -1/2 и cosx = 1/2, это -π/6 + 2πk, где k - целое число.

Ответ: Решение уравнения 3sinx = 2(1-cosx) состоит из следующих значений x: - x = 0, π, 2π, 3π, ... (соответствует sinx = 0) - x = -π/6 + 2πk, где k - целое число (соответствует sinx = -1/2 и cosx = 1/2)