Question

Решить неравенство: 16^х - 2 • 4^х + 1 > 0

Answer 1

16^х - 2 • 4^х + 1 > 0
4^2x - 2 * 4^x +1=0
4^x=a
a^2-2a+1=0
D=4+4=0
a=1  4^x=1  x=0
 +         +
-----о------------> x
     0

Ответ: х∈(- бесконечность; 0)U(0 ; + бесконечность)

Answer 2

Для решения данного неравенства, нужно использовать свойства степеней и основные свойства неравенств.

Начнем с преобразования выражений в неравенстве. У нас есть следующее неравенство:

16^х - 2 • 4^х + 1 > 0

Нам нужно найти значения переменной х, при которых это неравенство выполняется.

Первый шаг: преобразование степеней

Мы можем заметить, что числа 16 и 4 являются степенями числа 2. Давайте воспользуемся этим, чтобы преобразовать выражение:

(2^4)^х - 2 • (2^2)^х + 1 > 0

Теперь мы можем использовать свойство степеней (a^b)^c = a^(b•c):

2^(4•х) - 2 • 2^(2•х) + 1 > 0

Второй шаг: замена переменных

Давайте введем новую переменную y = 2^х. Тогда мы можем переписать неравенство следующим образом:

y^4 - 2 • y^2 + 1 > 0

Теперь нам нужно решить это квадратное неравенство относительно y.

Третий шаг: решение квадратного неравенства

Давайте рассмотрим квадратное уравнение y^4 - 2 • y^2 + 1 = 0. Мы можем найти его корни с помощью факторизации:

(y^2 - 1)^2 = 0

(y^2 - 1)(y^2 - 1) = 0

(y - 1)(y + 1)(y - 1)(y + 1) = 0

(y - 1)^2(y + 1)^2 = 0

Отсюда мы получаем два корня: y = 1 и y = -1.

Четвертый шаг: проверка решений

Теперь мы знаем значения y, при которых квадратное уравнение равно нулю. Давайте проверим, какие значения переменной х соответствуют этим корням.

Для y = 1: 2^х = 1 х = 0

Для y = -1: 2^х = -1 Нет решений, так как степень числа не может быть отрицательной.

Ответ

Таким образом, решение исходного неравенства 16^х - 2 • 4^х + 1 > 0 заключается в одном решении: х = 0.