Question

Докажите тождество. помогите плиз C⁹n+C⁸n=C⁹n+1 n снизу пишется как 9 сверху,только внизу

Answer 1

 Доказать: C⁹n+C⁸n=C⁹n+1
 C⁹n= n!/9!(n-9)! = (n-8)(n-7)(n-6)(n-5)(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)n/9!
C⁸n = n!/8!(n-8)! = (n-7)(n-6)(n-5)(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)n/8!
 (n-8)(n-7)(n-6)(n-5)(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)n/9! +(n-7)(n-6)(n-5)(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)n/8!= (n-8+9)(n-7)(n-6)(n-5)(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)n/9!
C⁹n+1 = (n+1)!/9!(n+1 -9)! = (n+1)!/9!(n-1)! = 
=  (n+1)(n-7)(n-6)(n-5)(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)n/9!

Answer 2

Для доказательства данного тождества воспользуемся биномиальным коэффициентом, который обозначается как "n по k" и вычисляется по формуле:

Cⁿₖ = n! / (k!(n-k)!)

где n! обозначает факториал числа n, а k! и (n-k)! обозначают факториалы чисел k и (n-k) соответственно.

Используя данную формулу, можем записать исходное тождество следующим образом:

C⁹ₙ * C⁸ₙ = C⁹ₙ₊₁ * (n+1)

Рассмотрим каждую сторону равенства отдельно:

Левая сторона: C⁹ₙ * C⁸ₙ = (9! / (n!(9-n)!)) * (8! / ((n-1)!(8-(n-1))!)) = (9! * 8!) / (n!(9-n)!(n-1)!(8-n+1)!) = (9! * 8!) / (n!(9-n)!(n-1)!(9-n)!) = (9! * 8!) / (n!(n-1)!(9-n)! * (9-n)) = (9! * 8!) / (n!(n-1)! * (9-n)!) = (9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (n!(n-1)! * (9-n)!) = (9 * 8) / (n!(n-1)!) (остальные множители сократились)

Правая сторона: C⁹ₙ₊₁ * (n+1) = (9! / ((n+1)!(9-(n+1))!)) * (n+1) = (9! / ((n+1)!(8-n)!)) * (n+1) = (9! * (n+1)) / ((n+1)!(8-n)!) = (9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 * (n+1)) / ((n+1)! * (8-n)!) = (9 * 8) / (n!(n-1)!) (остальные множители сократились)

Таким образом, левая и правая стороны равенства равны друг другу, что и требовалось доказать.