Question

Запишите развёрнутую запись решения с обоснованиемНайдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x-x^2, y=0

Answer 1

Фигура, ограниченная линиями y=2x-x^2, y=0 - это парабола ветвями вниз выше оси Ох.
Находим границы заданной фигуры. приравняв 2x-x^2=0,
х(2-х) = 0. Получаем 2 точки: х = 0 и х = 2.
$S = \int\limits^2_0 {(2x-x^2)} \, dx = \frac{2x^2}{2} - \frac{x^3}{3}|_0^2=4- \frac{8}{3}= \frac{4}{3}.$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y=2x-x^2 и y=0, мы можем использовать метод интегрирования. Площадь фигуры будет равна интегралу от функции y=2x-x^2 в пределах от x=0 до x=2.

Решение:

1. Найдем точки пересечения двух функций, приравняв их: y = 2x - x^2 y = 0

Подставим y=0 в уравнение y=2x-x^2: 0 = 2x - x^2

Решим это уравнение: x^2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0

Получаем две точки пересечения: x=0 и x=2.

2. Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, используя интеграл: S = ∫[0, 2] (2x - x^2) dx

Вычислим этот интеграл: S = [x^2 - (x^3)/3] [0, 2] S = (2^2 - (2^3)/3) - (0^2 - (0^3)/3) S = (4 - 8/3) - (0 - 0) S = (12/3 - 8/3) S = 4/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x-x^2 и y=0, равна 4/3.

Обоснование:

Для нахождения площади фигуры, мы использовали метод интегрирования, который позволяет найти площадь под кривой. Мы нашли точки пересечения двух функций y=2x-x^2 и y=0, а затем вычислили интеграл от функции y=2x-x^2 в пределах от x=0 до x=2. Полученное значение интеграла дает нам площадь фигуры, ограниченной этими двумя функциями.