Question

Может ли сумма 44 натуральных чисел быть в 4 раза больше, чем их произведение? Помогите! Не могу решить. Желательно с объяснением

Answer 1

Если среди этих чисел могут быть одинаковые, то можно: возьмем 41 единицу и 2, 2, 3. Тогда сумма равна 1+...+1+2+2+3=48, а произведение 1*...*1*2*2*3=12, при этом 48=4*12.

Если числа различные, то такое невозможно. Вначале докажем, что сумма любых чисел больших или равных 2 не превосходит их произведения. Пусть S(k) - сумма k чисел, каждое из которых не меньше 2,  а P(k) - их произведение. Заметим, что P(k)≥2. Сделаем индукцию по количеству слагаемых.  S(1)=P(1). Предположим, что выполнено S(k)≤P(k). Тогда, если b - это k+1-ое число, то S(k+1)=S(k)+b≤P(k)+b≤P(k)*b=P(k+1). Здесь неравенство P(k)+b≤P(k)*b верно, т.к. его можно переписать в виде (P(k)-1)(b-1)≥1, что выполняется при P(k)≥2 и b≥2. Теперь, если среди наших 44 чисел имеется только одна единица (а это так, если числа различны), то получаем 1+S(43)≤1+P(43)<4*1*P(43)), т.е. сумма всех чисел строго меньше чем четырехкратное их произведение. Значит равенства быть не может.

Answer 2

Can the sum of 44 natural numbers be four times greater than their product?

No, the sum of 44 natural numbers cannot be four times greater than their product. This can be explained using a simple mathematical reasoning.

Let's assume the 44 natural numbers are \( a_1, a_2, a_3, ..., a_{44} \).

The sum of these numbers is given by: \[ S = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{44} \]

And the product of these numbers is given by: \[ P = a_1 \times a_2 \times a_3 \times ... \times a_{44} \]

If the sum of these numbers is four times greater than their product, then mathematically it can be represented as: \[ S = 4P \]

However, this is not possible for natural numbers. The sum of 44 natural numbers will always be less than or equal to four times their product.

Therefore, it is not possible for the sum of 44 natural numbers to be four times greater than their product.

Explanation: The sum of 44 natural numbers, \( a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{44} \), will always be less than or equal to four times their product, \( a_1 \times a_2 \times a_3 \times ... \times a_{44} \).