Question

Решить систему дифференциальных уравнений dx/dt= -x+8y dy/dt= x-3y

Answer 1

Посмотрите решение во вложении.
Самая последняя строчка - проверка, не для записи.

Answer 2

Чтобы решить данную систему дифференциальных уравнений, мы можем использовать метод интегрирования пошагово. Для этого мы разделим систему на два уравнения и будем интегрировать каждое по отдельности.

Итак, у нас есть система дифференциальных уравнений:

dx/dt = -x + 8y dy/dt = x - 3y

Для первого уравнения мы можем использовать переменные разделения. Мы переместим все термины, содержащие x, на одну сторону уравнения, а все термины, содержащие y, на другую сторону:

dx/(x-8y) = -dt

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫(dx/(x-8y)) = ∫(-dt)

Для интегрирования левой стороны мы можем использовать метод частных дробей. Разложим дробь на простые дроби:

dx/(x-8y) = A/(x-8y) + B/(x-3y)

где A и B - неизвестные коэффициенты, которые мы должны найти. Умножим обе стороны уравнения на (x-8y)(x-3y), чтобы избавиться от знаменателей:

dx = A(x-3y) + B(x-8y) dt

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях переменных x и y:

1) x-компонента: 1 = A + B 2) y-компонента: 0 = -3A - 8B

Решая эти два уравнения, мы найдем значения A и B:

A = -8/23 B = 31/23

Теперь мы можем записать интеграл:

∫(dx/(x-8y)) = ∫(-8/23/(x-8y) + 31/23/(x-3y)) dt

Интегрируя обе стороны, получаем:

ln|x-8y| - 31ln|x-3y| = -8t + C

где C - константа интегрирования.

Теперь перейдем ко второму уравнению системы. Мы можем использовать тот же метод переменных разделения:

dy/(x-3y) = dt

Интегрируя обе стороны, получаем:

-31ln|x-3y| = -3t + D

где D - другая константа интегрирования.

Теперь у нас есть две уравнения, связанные с константами интегрирования C и D:

ln|x-8y| - 31ln|x-3y| = -8t + C -31ln|x-3y| = -3t + D

Мы можем использовать эти уравнения для решения системы. Если вам нужно найти конкретное решение, вам нужно задать начальные условия или дополнительные ограничения. Если у вас есть начальные условия, вы можете использовать их, чтобы найти значения C и D и получить окончательное решение системы.

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как решить данную систему дифференциальных уравнений. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.