Question

Помогите решить: у Кати есть камешки. Если их разделить на 3 равные кучки,то останется 1 камешек,а если их разделить на 5 равных кучек, то останется 2 камешка. Какое наименьшие число камешков нужно добавить,чтобы их можно было поделить и на 3, и на 5 кучек поровну? задачу задали 5 классу

Answer 1

У Кати х камешков х=3у+1
х=5с+2

Получается, что камешков 7 .Добавить нужно 8 

Answer 2

Дано, что у Кати есть некоторое количество камешков, которые мы обозначим за N.

Мы знаем, что если разделить эти камешки на 3 равные кучки, то останется 1 камешек. Это означает, что N-1 должно быть кратно 3: (N-1) % 3 = 0.

Также нам известно, что если разделить камешки на 5 равных кучек, то останется 2 камешка. Это означает, что N-2 должно быть кратно 5: (N-2) % 5 = 0.

Теперь мы можем составить систему уравнений:

(N-1) % 3 = 0 (N-2) % 5 = 0

Решим эту систему методом подстановки. Подставим в первое уравнение N = 3k + 1, где k - некоторое целое число:

((3k + 1) - 1) % 3 = 0 (3k) % 3 = 0 0 = 0

Уравнение выполняется для любого значения k. Теперь подставим N = 3k + 1 во второе уравнение:

((3k + 1) - 2) % 5 = 0 (3k - 1) % 5 = 0

Теперь решим это уравнение методом подстановки. Подставим в него N = 5m + 2, где m - некоторое целое число:

((5m + 2) - 2) % 5 = 0 (5m) % 5 = 0 0 = 0

Уравнение выполняется для любого значения m.

Итак, мы получили две системы уравнений:

N = 3k + 1 N = 5m + 2

Теперь нам нужно найти наименьшее значение N, которое удовлетворяет обоим уравнениям.

Мы можем использовать метод китайской теоремы об остатках, чтобы найти N. Этот метод заключается в нахождении наименьшего общего кратного (НОК) для 3 и 5, и затем нахождении остатка от деления на это НОК.

НОК(3, 5) = 15

Теперь найдем остатки от деления на 15:

N = 3k + 1 = 1, 4, 7, 10, 13 N = 5m + 2 = 2, 7, 12

Мы можем заметить, что 7 является общим остатком для обоих уравнений. Поэтому наименьшее число камешков, которое нужно добавить, чтобы их можно было поделить и на 3, и на 5 кучек поровну, равно 7.

Ответ: нужно добавить 7 камешков.