Question

Докажите , что числа 0,1234567891011121314... (после запятой выписаны подряд натуральные числа) иррациональнр.

Answer 1

Потому что они идут после запятой и они рациональные

Answer 2

Для доказательства того, что числа вида 0,1234567891011121314... (где после запятой выписаны подряд натуральные числа) являются иррациональными, можно воспользоваться методом от противного.

Предположим, что данное число является рациональным и может быть представлено в виде десятичной дроби p/q, где p и q - целые числа, а q не равно нулю.

Тогда мы можем записать это число в виде:

0,1234567891011121314... = p/q

Умножим обе части уравнения на 10^k, где k - количество цифр после запятой в десятичной дроби:

10^k * (0,1234567891011121314...) = 10^k * (p/q)

Теперь давайте рассмотрим выражение 10^k * (0,1234567891011121314...). Это число будет равно целой части десятичной дроби (0 в данном случае) и десятичной дроби без целой части (0,1234567891011121314...).

Таким образом, мы можем записать:

10^k * (0,1234567891011121314...) = 0 + 0,1234567891011121314...

Теперь вычтем из обеих частей уравнения десятичную дробь без целой части:

10^k * (0,1234567891011121314...) - (0,1234567891011121314...) = 0

Сократим общий множитель (0,1234567891011121314...) и получим:

(10^k - 1) * (0,1234567891011121314...) = 0

Теперь рассмотрим выражение (10^k - 1). Это число состоит из k девяток (например, при k=3, получаем 999), и является целым числом.

Если (10^k - 1) не равно нулю, то мы получаем, что (0,1234567891011121314...) равно нулю. Но это противоречит нашему предположению о том, что это число является рациональным.

Таким образом, мы приходим к выводу, что (10^k - 1) = 0, то есть k=0. Но это невозможно, так как k должно быть положительным целым числом.

Следовательно, наше предположение о том, что число (0,1234567891011121314...) является рациональным, неверно. Таким образом, данное число является иррациональным.