Question

В треугольнике ABC точка M - середина AC, MD и ME - биссектрисы треугольников ABM и CBM соответственно. Отрезки BM и DE пересекаются в точке F. Найдите MF, если DE=7

Answer 1

рассмотрим данный трейгольник в том варианте, если он равнобедренный

 по начертанному треугольник MDF  равнобедренный, значит DF=FM=1/2DE=3,5см

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойством биссектрисы треугольника: она делит противоположную ей сторону на отрезки, пропорциональные ближайшим к ней сторонам треугольника.

Пусть BM = x, тогда AM = MC = 2x, так как M - середина AC. Также обозначим MF = y.

Из свойств биссектрисы треугольника ABM получаем:

AB/AM = BM/BM, AB/(2x) = x/(2x).

Сокращаем на 1/2x и получаем AB = 2x.

Из свойств биссектрисы треугольника CBM получаем:

CB/CM = BM/BM, CB/(2x) = x/(2x).

Сокращаем на 1/2x и получаем CB = x.

Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным, так как AB = CB.

Теперь рассмотрим треугольник BDE. Из условия DE = 7 получаем, что BD = 7 - x.

Так как BM и DE пересекаются в точке F, то по свойству пропорциональности отрезков получаем:

BD/DE = BM/MF, (7 - x)/7 = x/y.

Решаем данное уравнение относительно y:

7 - x = 7x/y, y(7 - x) = 7x, 7y - xy = 7x, 7y = 7x + xy, y(7 - x) = 7x.

Теперь подставим известные значения:

y(7 - x) = 7x, y(7 - x) = 7, (7 - x)y = 7, y = 7 / (7 - x).

Таким образом, найдена формула для вычисления MF:

MF = 7 / (7 - x).

Подставим значение DE = 7:

MF = 7 / (7 - x).

Таким образом, MF = 7 / (7 - x).