Question

Решите неравенство (x^2-10x+4)(x^2-2x-4)<0

Answer 1

1)x²-10x+4<0 U x²-2x-4>0
D=100-16=84
x1=(10-2√21)/2=5-√21  U x2=5+√21
5-√21<x<5+√21
D=4+16=20
x3=(2-2√5)/2=1-√5 U x4=1+√5
x<1-√5 U x>1+√5
x∈(1+√5;5+√21)
2)x²-10x+4>0 U x²-2x-4<0
x<5-√21 U x>5+√21
1-√5<x<1+√5
x∈(1-√5;5-√21)
Ответx∈(1+√5;5+√21)U(1-√5;5-√21)

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы можем использовать метод интервалов. Вначале найдем корни каждого из квадратных многочленов в скобках, чтобы разбить интервалы на отрезки, где неравенство может меняться.

Для первого квадратного многочлена x^2 - 10x + 4, мы можем использовать квадратное уравнение, чтобы найти его корни. Решим:

x^2 - 10x + 4 = 0

Применим квадратное уравнение:

x = (-(-10) ± √((-10)^2 - 4(1)(4))) / (2(1))

x = (10 ± √(100 - 16)) / 2

x = (10 ± √84) / 2

x = (10 ± 2√21) / 2

x = 5 ± √21

Таким образом, корни первого квадратного многочлена равны x = 5 + √21 и x = 5 - √21.

Для второго квадратного многочлена x^2 - 2x - 4, мы также можем использовать квадратное уравнение. Решим:

x^2 - 2x - 4 = 0

Применим квадратное уравнение:

x = (-(-2) ± √((-2)^2 - 4(1)(-4))) / (2(1))

x = (2 ± √(4 + 16)) / 2

x = (2 ± √20) / 2

x = (2 ± 2√5) / 2

x = 1 ± √5

Таким образом, корни второго квадратного многочлена равны x = 1 + √5 и x = 1 - √5.

Теперь, когда мы знаем корни обоих квадратных многочленов, мы можем создать таблицу интервалов и определить, где неравенство выполняется.

Таблица интервалов:

| Интервал | Знак | |---------|------| | (-∞, 1 - √5) | - | | (1 - √5, 1 + √5) | + | | (1 + √5, 5 - √21) | - | | (5 - √21, 5 + √21) | + | | (5 + √21, +∞) | - |

Теперь мы можем определить, где неравенство выполняется. Когда знак неравенства отрицательный, то произведение двух многочленов будет меньше нуля, и когда знак неравенства положительный, то произведение будет больше нуля.

Из таблицы видно, что неравенство выполняется на интервалах (-∞, 1 - √5) и (5 + √21, +∞).

Таким образом, решение неравенства (x^2 - 10x + 4)(x^2 - 2x - 4) < 0 это:

x < 1 - √5 или x > 5 + √21.