Question

Решить систему методом Гауса: x-3y+z=0x-2y+z=1 2y-z=2

Answer 1

$\left \{ {{x-3y+z=0} \atop {x-2y+z=1}}\atop {2y-z=2} \right.$
   
  Решение
 
Сделаем коэффициент при переменной х равным 0 в уравенении 2. Для этого отнимем от него 1 уравнение, умноженное на 1:

$\left \{ {{x-3y+z=0} \atop {y=1}}\atop {2y-z=2} \right. \to \left \{ {{x-3y+z=0} \atop {y=1}}\atop {2\cdot 1-z=2} \right. \to \left \{ {{x-3y+z=0} \atop {y=1}}\atop {z=0} \right. \to \left \{ {{x=3} \atop {y=1}}\atop {z=0} \right. \\ \\ \\ \\ \\ OTBET:(3;1;0).$ 

Answer 2

Для решения данной системы методом Гаусса, мы будем выполнять ряд преобразований над уравнениями с целью привести систему к ступенчатому виду.

Исходная система уравнений: 1) x - 3y + z = 0 2) x - 2y + z = 1 3) 2y - z = 2

1) Вычтем уравнение 2 из уравнения 1: (x - 3y + z) - (x - 2y + z) = 0 - 1 -x + y = -1 Это будет новое уравнение 1.

2) Уравнение 2 оставляем без изменений.

3) Уравнение 3 оставляем без изменений.

Теперь система выглядит следующим образом: 1) -x + y = -1 2) x - 2y + z = 1 3) 2y - z = 2

1) Умножим уравнение 1 на -1: -1 * (-x + y) = -1 * (-1) x - y = 1 Это будет новое уравнение 1.

2) Уравнение 2 оставляем без изменений.

3) Уравнение 3 оставляем без изменений.

Теперь система выглядит следующим образом: 1) x - y = 1 2) x - 2y + z = 1 3) 2y - z = 2

1) Прибавим уравнение 1 к уравнению 2: (x - 2y + z) + (x - y) = 1 + 1 2x - 3y + z = 2 Это будет новое уравнение 2.

2) Уравнение 1 оставляем без изменений.

3) Уравнение 3 оставляем без изменений.

Теперь система выглядит следующим образом: 1) x - y = 1 2) 2x - 3y + z = 2 3) 2y - z = 2

1) Уравнение 1 оставляем без изменений.

2) Уравнение 2 оставляем без изменений.

3) Уравнение 3 оставляем без изменений.

Теперь система выглядит следующим образом: 1) x - y = 1 2) 2x - 3y + z = 2 3) 2y - z = 2

Теперь мы можем решить систему методом обратной подстановки.

Из уравнения 3 выразим переменную z: z = 2y - 2

Подставим это выражение в уравнение 2: 2x - 3y + (2y - 2) = 2 2x - y = 4 y = 2x - 4

Подставим это выражение в уравнение 1: x - (2x - 4) = 1 - x + 4 = 1 x = 3

Теперь найдены значения переменных x и y: x = 3 y = 2x - 4 = 2 * 3 - 4 = 2

Для нахождения значения переменной z, подставим найденные значения x и y в одно из исходных уравнений. Возьмем, например, уравнение 2: 2x - 3y + z = 2 2 * 3 - 3 * 2 + z = 2 6 - 6 + z = 2 z = 2

Таким образом, решение данной системы уравнений методом Гаусса: x = 3 y = 2 z = 2