Question

Найти наименьшее значение функции y=e^2x - 7e^x - 2 на отрезке [0;3]

Answer 1

y`=2e^2x-7e^x

2e^2x-7e^x=0

e^x(2e^x-7)=0

e^x-нет решений

2е^x=7

e^x=3.5

y(0)=-2

y(3)=получается иррациональное и > 0

Ответ:-2

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y = e^2x - 7e^x - 2 на отрезке [0;3], необходимо найти точку, в которой функция достигает своего минимума.

Для этого можно воспользоваться производной функции. Найдем производную функции y по x:

y' = 2e^2x - 7e^x

Далее приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

2e^2x - 7e^x = 0

Разделим обе части уравнения на e^x:

2e^x - 7 = 0

Теперь приравняем полученное выражение к нулю и решим уравнение:

2e^x = 7

e^x = 7/2

x = ln(7/2)

Таким образом, точка, в которой функция достигает своего минимума, находится при x = ln(7/2).

Теперь подставим найденное значение x в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение y:

y = e^2(ln(7/2)) - 7e^(ln(7/2)) - 2

y = (7/2)^2 - 7 * (7/2) - 2

y = 49/4 - 49/2 - 2

y = 49/4 - 98/4 - 8/4

y = -57/4

Таким образом, наименьшее значение функции y = e^2x - 7e^x - 2 на отрезке [0;3] равно -57/4.