Question

Определенный интеграл

Answer 1

Универсальная тригонометрическая подстановка:

$= 2\int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 { \frac{1}{ 8\sqrt{sec^2u} } } \, du= \frac{1}{4} \int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 { \frac{1}{ \sqrt{sec^2u} } } \, du = \int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 {cos(u)} \, du = \\= \frac{sin(u)}{4} |\limits^ \frac{ \pi }{4} _0= \frac{1}{4 \sqrt{2} } \\ \\ x=2tg(u), \\ dx=2sec^2(u)du$

Answer 2

Определенный интеграл - это интеграл, который имеет нижний и верхний пределы интегрирования, что позволяет найти площадь под кривой (или между двумя кривыми), вычислить среднее значение функции на заданном интервале или найти сумму значений функции на заданном интервале.

Формально определенный интеграл функции f(x) на интервале [a, b] обозначается следующим образом:

∫[a,b] f(x) dx

где f(x) - интегрируемая функция, a и b - нижний и верхний пределы интегрирования соответственно, dx - дифференциал переменной x.

Геометрически определенный интеграл находит площадь под кривой f(x) на заданном интервале [a, b]. Он делится на малые прямоугольники (площади которых равны f(x) * dx) и суммирует все эти площади, чтобы получить общую площадь.

Математически определенный интеграл можно вычислить с помощью различных методов, таких как методы прямоугольников (левых, правых или средних), метод трапеций или метод Симпсона. Они основаны на аппроксимации площади под кривой с использованием прямоугольников, трапеций или парабол.

Определенный интеграл также может быть использован для вычисления среднего значения функции на заданном интервале. Для этого интеграл от функции f(x) берется на интервале [a, b], а затем результат делится на длину интервала (b - a).

Кроме того, определенный интеграл может быть использован для вычисления суммы значений функции на заданном интервале. Для этого интеграл от функции f(x) берется на интервале [a, b], а затем результат представляет собой сумму всех значений функции на этом интервале.

В общем случае, определенный интеграл является мощным инструментом математического анализа, который позволяет решать различные задачи, связанные с площадью, средним значением и суммой функции на заданном интервале.