Question

Найти первообразную функцию F(x) = e^x + sin x

Answer 1

$\int {e^x+\sin x} \ dx =e^x-\cos x+C$

Answer 2

Для нахождения первообразной функции F(x) = e^x + sin(x), мы можем использовать методы интегрирования. Интегрирование позволяет найти функцию, производная которой равна исходной функции.

Метод интегрирования по частям

Один из способов найти первообразную этой функции - это метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид:

∫ u * v dx = u * ∫ v dx - ∫ (u' * ∫ v dx) dx

где u и v - функции, а u' и v' - их производные по x.

Применим этот метод к нашей функции F(x) = e^x + sin(x):

∫ (e^x + sin(x)) dx

Выберем u = e^x и dv = dx. Тогда du = e^x dx и v = ∫ dv = x.

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

∫ (e^x + sin(x)) dx = e^x * x - ∫ (x * e^x) dx + ∫ (x * sin(x)) dx

Второй интеграл ∫ (x * e^x) dx может быть решен с помощью метода интегрирования по частям еще раз. Если выберем u = x и dv = e^x dx, то du = dx и v = ∫ dv = e^x.

Применяя формулу интегрирования по частям к этому интегралу, получаем:

∫ (x * e^x) dx = x * e^x - ∫ (e^x) dx

Теперь мы можем заменить это в первоначальном выражении:

∫ (e^x + sin(x)) dx = e^x * x - (x * e^x - ∫ (e^x) dx) + ∫ (x * sin(x)) dx

Обратите внимание, что ∫ (e^x) dx - это просто e^x + C, где C - константа интегрирования. Поэтому мы можем упростить выражение:

∫ (e^x + sin(x)) dx = e^x * x - (x * e^x - (e^x + C)) + ∫ (x * sin(x)) dx

Теперь остается решить последний интеграл ∫ (x * sin(x)) dx. Для этого мы можем использовать метод интегрирования по частям снова, выбрав u = x и dv = sin(x) dx.

Применяя формулу интегрирования по частям к этому интегралу, получаем:

∫ (x * sin(x)) dx = -x * cos(x) + ∫ cos(x) dx

Интеграл ∫ cos(x) dx - это просто sin(x) + C. Подставим это обратно в наше выражение:

∫ (e^x + sin(x)) dx = e^x * x - (x * e^x - (e^x + C)) + (-x * cos(x) + sin(x) + C)

Мы можем упростить это выражение:

∫ (e^x + sin(x)) dx = (e^x * x - x * e^x + e^x - x * cos(x) + sin(x)) + C

Таким образом, первообразная функции F(x) = e^x + sin(x) равна:

F(x) = e^x * x - x * e^x + e^x - x * cos(x) + sin(x) + C

где C - произвольная константа интегрирования.