Question

Исследовать на монотонность Найти экстремулы y=2/3x³+1/2x²-3x+5

Answer 1

ДАНО

Y = 2/3*x³ + 1/2*x² +5

ИССЛЕДОВАНИЕ

1.Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная.

Вертикальных асимптот - нет.

2. Пересечение с осью Х.  Корень: х₁ ≈ - 3,0. 

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 5. 

4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = - ∞  limY(+∞) = +∞.

Горизонтальной асимптоты - нет. 

5. Исследование на чётность.Y(-x) ≠ - Y(x).

Функция ни чётная ни нечётная. 

6. Производная функции.Y'(x)= 2*x² + х - 3 = 0   . 

Корни: х₁= -3/2 , х₂ = 1. 

Схема знаков производной - отрицательная между корнями.

(-∞)_положит_(x₁= -1,5)__ отрицат. _(x₂=1)_положит___(+∞)

7. Локальные экстремумы. 

Максимум Ymax(- 3/2)= 67/8 = 8,375 ,

минимум – Ymin(1)= 19/6  = 3,1(6). 

8. Интервалы монотонности.

Возрастает - Х∈(-∞;-1,5]∪[1;+∞) , убывает = Х∈[-1.5; 1]. 

8. Вторая производная - Y"(x) = 4*x + 1=0. 

Корень производной - точка перегиба - x = - 1/4. 

9. Выпуклая “горка» Х∈(-∞;-1/4], Вогнутая – «ложка» Х∈[-1/4;+∞). 

10. Область значений Е(у) У∈(-∞;+∞) 

11. Наклонная асимптота. Уравнение по формуле: Y = limY(∞)=(k*x+b – f(x).  

k=lim(∞)Y(x)/x . = ∞. Наклонной асимптоты - нет

12. График в приложении.

Answer 2

Для исследования на монотонность функции y = (2/3)x³ + (1/2)x² - 3x + 5, мы должны найти ее первую производную и определить знаки этой производной на различных интервалах.

1. Найдем первую производную функции: y' = 2x² + x - 3

2. Найдем критические точки, где производная равна нулю: 2x² + x - 3 = 0

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать метод дискриминанта или метод факторизации. В данном случае, мы воспользуемся методом дискриминанта.

Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 2, b = 1, c = -3. D = 1² - 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных действительных корня: x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-1 + √25) / (2*2) = (4 + 5) / 4 = 9/4 x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-1 - √25) / (2*2) = (4 - 5) / 4 = -1/4

3. Теперь мы можем составить таблицу знаков производной:

x | -∞ | -1/4 | 9/4 | +∞ ---------------------------------------------- y' | + | 0 | - | + ---------------------------------------------- y | уб | эк | воз | воз

Таким образом, функция y = (2/3)x³ + (1/2)x² - 3x + 5 убывает на интервале (-∞, -1/4), имеет локальный минимум в точке x = -1/4, возрастает на интервале (-1/4, 9/4) и имеет локальный максимум в точке x = 9/4, и снова возрастает на интервале (9/4, +∞).

Также можем заметить, что функция является непрерывной и гладкой, поскольку ее первая производная существует на всей числовой оси.