Question

Найти наименьшее и наибольшее значение функции f(x)=x^3-2x^2+x+3 на [0; 1,5]

Answer 1

F ' (x) = (x^3 - 2*x^2 + x + 3) ' = 3x^2 - 4x + 1 ;
f ' (x) = 0;
3x^2 - 4x + 1 = 0 ;
D = 16 - 12 = 4
x1 = ( 4 + 2)/6 = 1 ∈ [ 0; 1,5]
x2 = ( 4 - 2)/6 = 1/3 ∈ [0; 1.5] 

y (0) = 3; min 
y (1/3) =(1/3)^3 - 2*(1/3)^2 + 1/3 + 3 = 1/27 - 2/9 + 1/3 + 3 = 
=  (1 - 2*3 + 9 + 3*27)/27 = 85/27 = 3,(148)
y (1) = 1 - 2 + 4 = 3; min 
y (3/2) = (3/2)^3 - 2*(3/2)^2 + 3/2 + 3  = 27/8 - 18/4 + 3/2 + 3 =
= 3,375 - 4,5 + 4,5 = 3,375 max

Answer 2

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 на интервале [0, 1.5], нужно найти значения функции на концах интервала и в критических точках.

1. Найдем значения функции на концах интервала: Для x = 0: f(0) = 0^3 - 2(0)^2 + 0 + 3 = 0 + 0 + 0 + 3 = 3 Для x = 1.5: f(1.5) = (1.5)^3 - 2(1.5)^2 + 1.5 + 3 = 3.375 - 4.5 + 1.5 + 3 = 3.375 - 3 = 0.375

2. Найдем критические точки функции, то есть точки, в которых производная функции равна нулю: f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 Для нахождения критических точек решим уравнение f'(x) = 0: 3x^2 - 4x + 1 = 0 (3x - 1)(x - 1) = 0 Из этого уравнения получаем две критические точки: x = 1/3 и x = 1.

3. Найдем значения функции в критических точках: Для x = 1/3: f(1/3) = (1/3)^3 - 2(1/3)^2 + 1/3 + 3 = 1/27 - 2/9 + 1/3 + 3 = 1/27 - 6/27 + 3/27 + 81/27 = 79/27 Для x = 1: f(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 1 + 3 = 1 - 2 + 1 + 3 = 3

Итак, наименьшее значение функции f(x) на интервале [0, 1.5] равно 0.375 и достигается в точке x = 1.5. Наибольшее значение функции равно 79/27 и достигается в точке x = 1/3.