Question

Мистер Фокс задумал некоторое натуральное число NN, большее 360, но меньшее 370, и сложил все натуральные числа от 1 до NN. Он обнаружил, что полученная сумма делится на некоторое простое число pp, однако ни одно слагаемое на pp не делится. Чему равно NN?

Answer 1

Сумму всех натуральных чисел  можно вычислить по формуле арифметической прогрессии:

$S_n= \frac{(a_1+a_n)*n}{2}$

a₁=1
an=N
n=N

Подставим числа в формулу:

$S_n= \frac{(N+1)*N}{2}$

Очевидно, что это простое число может быть либо числом  P=N+1, в этом случае все числа от 1 до N не делятся на P=N+1.
Найдем простые числа в промежутке от 360 до 370.
Только 1 простое число .

P=367
N=367-1=366

Ответ N=366

Answer 2

Пусть NN = 361. Тогда сумма всех натуральных чисел от 1 до 361 будет равна S = 1 + 2 + ... + 361.

Формула для суммы арифметической прогрессии: S = (n/2)(a + b), где n - количество элементов в прогрессии, a - первый элемент, b - последний элемент.

В данном случае n = 361, a = 1, b = 361. Подставляем значения в формулу и находим сумму:

S = (361/2)(1 + 361) = 181 * 362 = 65542.

Полученная сумма равна 65542. Теперь нам нужно найти простое число pp, на которое эта сумма делится, но ни одно из слагаемых на pp не делится.

Предположим, что pp = 2. Проверим, делится ли сумма 65542 на 2. 65542 / 2 = 32771, остаток равен 0. Таким образом, сумма делится на 2.

Теперь проверим, делится ли каждое слагаемое на 2. Для этого нужно проверить, делится ли каждое слагаемое на 2 без остатка.

1 / 2 = 0,5 - не делится без остатка 2 / 2 = 1 - делится без остатка 3 / 2 = 1,5 - не делится без остатка ... 361 / 2 = 180,5 - не делится без остатка

Таким образом, ни одно из слагаемых не делится на 2 без остатка.

Получается, что нам нужно найти такое простое число pp, на которое сумма 65542 делится, но ни одно из слагаемых не делится на pp без остатка.

Очевидно, что такого простого числа pp не существует, так как 65542 является четным числом и делится на 2.

Следовательно, NN не может быть равно 361.

Попробуем другое значение NN. Пусть NN = 362. Тогда сумма всех натуральных чисел от 1 до 362 будет равна S = 1 + 2 + ... + 362.

Применяем формулу для суммы арифметической прогрессии:

S = (362/2)(1 + 362) = 181 * 363 = 65643.

Полученная сумма равна 65643. Теперь ищем простое число pp, на которое эта сумма делится, но ни одно из слагаемых на pp не делится.

Предположим, что pp = 2. Проверим, делится ли сумма 65643 на 2. 65643 / 2 = 32821,5, остаток не равен 0. Таким образом, сумма не делится на 2.

Проверяем каждое слагаемое на делимость на 2:

1 / 2 = 0,5 - не делится без остатка 2 / 2 = 1 - делится без остатка 3 / 2 = 1,5 - не делится без остатка ... 362 / 2 = 181 - делится без остатка

Таким образом, одно из слагаемых делится на 2 без остатка.

Предположим, что pp = 3. Проверим, делится ли сумма 65643 на 3. 65643 / 3 = 21881, остаток равен 0. Таким образом, сумма делится на 3.

Проверяем каждое слагаемое на делимость на 3:

1 / 3 = 0,3333 - не делится без остатка 2 / 3 = 0,6666 - не делится без остатка 3 / 3 = 1 - делится без остатка ... 362 / 3 = 120,6666 - не делится без остатка

Таким образом, ни одно из слагаемых не делится на 3 без остатка.

Получается, что число NN = 362 удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, NN = 362.