Question

Помогите решить систему неравенств) {√x+√y=4 {√x*√y=3

Answer 1

{√x+√y=4
{√x*√y=3

ОДЗ:
х≥0
у≥0
Обе части первого уравнения возведём в квадрат: 
{(√x+√y)² = 4²
{√x*√y=3

{ x + 2√х*√y + у = 16
{√x*√y = 3
Из второго уравнения произведение √х*√у =3 подставим в первое.
x + 2*3 + y = 16
х + у = 16 - 6
х + у = 10
у = 10-х

Подставим значение у = 10-х во второе и получим:
√х*√(10-х) = 3
Возводим в квадрат обе части уравнения:
х(10-х) = 3²
10х - х² = 9
х² - 10х + 9 = 0
D = b² - 4ac
D = 100 - 4*1*9=100 - 36 = 64
√D = √64 = 8
x₁ = (10+8)/2 = 18/2 = 9
x₂ = (10-8)/2 = 2/2 = 1

Подставим в уравнение у = 10-х значения х₁=9 и х₂=1 и найдём у.
у₁ = 10-9=1
у₂= 10-1=9
Все значения удовлетворяют ОДЗ.
x₁=9;  y₁=1
x₂=1;  y₂=9
Ответ: {9; 1};   {1; 9}

Answer 2

Решение системы неравенств

Для решения данной системы неравенств, мы можем воспользоваться методом замены переменных. Давайте введем новые переменные u и v, такие что u = √x и v = √y. Теперь мы можем переписать исходную систему в терминах новых переменных:

1. u + v = 4 2. uv = 3

Теперь у нас есть система уравнений, которую мы можем решить методом подстановки или методом Крамера. Давайте продолжим с методом подстановки.

Сначала выразим одну из переменных через другую из уравнения (1):

u = 4 - v

Теперь подставим это выражение в уравнение (2):

(4 - v)v = 3 4v - v^2 = 3 v^2 - 4v + 3 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно переменной v. Решим его с помощью метода факторизации или квадратного уравнения.

(v - 3)(v - 1) = 0

Отсюда получаем два возможных значения v: v = 3 или v = 1.

Теперь найдем соответствующие значения u, используя уравнение u = 4 - v:

1. Когда v = 3, u = 4 - 3 = 1 2. Когда v = 1, u = 4 - 1 = 3

Таким образом, мы получили две пары значений (u, v): (1, 3) и (3, 1). Теперь мы можем вернуться к исходным переменным x и y, зная что u = √x и v = √y:

1. Для (u, v) = (1, 3): x = u^2 = 1^2 = 1, y = v^2 = 3^2 = 9 2. Для (u, v) = (3, 1): x = u^2 = 3^2 = 9, y = v^2 = 1^2 = 1

Таким образом, решением системы неравенств {√x + √y = 4, √x*√y = 3} являются две пары значений (x, y): (1, 9) и (9, 1).