Question

Найти dz/du и dz/dv, если z=y^2lnx, где x=2u-3v, y=u/v

Answer 1

Частные производные...
$z=y^2*lnx=(\frac{u}{v})^2*ln(2u-3v)\\\frac{dz}{du}=\frac{1}{v^2}*2u*ln(2u-3v)+\frac{1}{2u-3v}*2*(\frac{u}{v})^2=\frac{2u*ln(2u-3v)}{v^2}+\\+\frac{2*u^2}{v^2(2u-3v)}=\frac{2u(2u-3v)ln(2u-3v)+2u^2}{v^2(2u-3v)}=\frac{2u((2u-3v)ln(2u-3v)+u)}{v^2(2u-3v)}\\\\\frac{dz}{dv}=u^2*(-\frac{1}{v})*ln(2u-3v)+\frac{1}{2u-3v}*(-3)*(\frac{u}{v})^2=\\=-\frac{u^2*ln(2u-3v)}{v}-\frac{3u^2}{v^2(2u-3v)}=\frac{-u^2v*ln(2u-3v)-3u^2}{v^2(2u-3v)}=\\=\frac{-u^2(v*ln(2u-3v)+3)}{v^2(2u-3v)}$

Answer 2

Для нахождения частных производных dz/du и dz/dv, когда z = y^2lnx и x = 2u-3v, y = u/v, мы будем использовать правило дифференцирования сложных функций, известное как правило цепочки.

Нахождение dz/du:

Для нахождения dz/du, мы будем дифференцировать выражение z по переменной u, считая y и x функциями u и v.

Сначала найдем частную производную dz/dy: dz/dy = 2ylnx

Затем найдем частную производную dy/du: dy/du = (d(u/v))/du = (v * du/dx - u * dv/dx)/v^2 = (v(2) - u(0))/v^2 = 2v/v^2 = 2/v

Теперь мы можем применить правило цепочки, чтобы найти dz/du: dz/du = dz/dy * dy/du = 2ylnx * 2/v = 4ylnx/v

Нахождение dz/dv:

Для нахождения dz/dv, мы также будем дифференцировать выражение z по переменной v, считая y и x функциями u и v.

Сначала найдем частную производную dz/dy (также, как в предыдущем случае): dz/dy = 2ylnx

Затем найдем частную производную dy/dv: dy/dv = (d(u/v))/dv = (v * du/dx - u * dv/dx)/v^2 = (v(-3) - u(-1))/v^2 = (-3v + u)/v^2

Теперь мы можем применить правило цепочки, чтобы найти dz/dv: dz/dv = dz/dy * dy/dv = 2ylnx * (-3v + u)/v^2 = -6ylnxv^(-1) + uylnx/v^2

Таким образом, частные производные dz/du и dz/dv равны: dz/du = 4ylnx/v dz/dv = -6ylnxv^(-1) + uylnx/v^2

Где x = 2u-3v и y = u/v.