Question

Найти производную сложной функции у=sin3x √(7x-3)

Answer 1

Y`=3cos3x*√(7x-3)+7sin3x/(2√(7x-3))

Answer 2

Для нахождения производной сложной функции нам понадобится использовать правило цепной дифференциации (chain rule). Давайте разберемся с производной данной функции шаг за шагом.

Функция, для которой мы хотим найти производную, имеет вид:

у = sin(3x) + √(7x - 3)

Поскольку это сложная функция, мы должны разделить ее на две части: f(x) = sin(3x) и g(x) = √(7x - 3). Затем мы найдем производные этих функций отдельно и применим правило цепной дифференциации для получения окончательного результата.

Нахождение производной для f(x) = sin(3x):

Для нахождения производной синуса мы будем использовать цепное правило. Дифференцируем внутреннюю функцию (аргумент синуса), затем дифференцируем сам синус и умножаем на полученную производную внутренней функции.

f'(x) = cos(3x) * d/dx(3x)

Обратите внимание, что производная синуса равна косинусу.

Теперь нам нужно найти производную внутренней функции d/dx(3x), которая просто равна 3.

f'(x) = cos(3x) * 3

Нахождение производной для g(x) = √(7x - 3):

Для нахождения производной корня мы также будем использовать цепное правило. Дифференцируем внутреннюю функцию (выражение под корнем), затем дифференцируем сам корень и умножаем на полученную производную внутренней функции.

g'(x) = (1/2√(7x - 3)) * d/dx(7x - 3)

Обратите внимание, что производная корня равна 1/(2√(выражение под корнем)).

Теперь нам нужно найти производную внутренней функции d/dx(7x - 3), которая равна 7.

g'(x) = (1/2√(7x - 3)) * 7

Применение правила цепной дифференциации:

Теперь, когда у нас есть производные для функций f(x) и g(x), мы можем применить правило цепной дифференциации, чтобы найти производную сложной функции.

Правило цепной дифференциации гласит: d/dx(f(g(x))) = f'(g(x)) * g'(x)

Применяя это правило к нашей функции, получаем:

у' = f'(g(x)) * g'(x)

у' = (cos(3x) * 3) * ((1/2√(7x - 3)) * 7)

Теперь мы можем упростить это выражение и получить окончательную производную:

у' = 3cos(3x) * (7/2√(7x - 3))

Таким образом, производная данной сложной функции у = sin(3x) + √(7x - 3) равна 3cos(3x) * (7/2√(7x - 3)).