Question

20 баллов+10 ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ( с рисунком и подробнее) В равнобедренную трапецию с острым углом 60⁰ вписана окружность радиуса 8. Найдите длину диагонали трапеции.

Answer 1

 Значит      выполняется условие вписанности окружности в трапецию , 
     $AB+CD=2BC$ , опустим высоту $BH$  , из     прямоугольного треугольника $\Delta BHC$      $BC=\frac{BH}{sin60}\\ BH=BCsin60 = \frac{\sqrt{3}BC}{2}$ 
Но так как $CD=2CH+AB$ , можно выразить из  того же прямоугольного треугольника     $\Delta BHC$ ,$CH=\frac{BC}{2}$ 
 Значит    
  $CD=BC+AB\\ BC+2AB=2BC\\ AB=\frac{BC}{2}$ 
 Но радиус равен
$BH=2r \\ \frac{\sqrt{3}}{4}*BC=8\\ BC=\frac{32}{\sqrt{3}}\\ AB=\frac{16}{\sqrt{3}}$
  
 Откуда диагональ  $AC= \sqrt{AB^2+BC^2-2*AB*BC*cos(90а+30а) }\\ AC= \frac{16\sqrt{21}}{3}$
              

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться свойством вписанной окружности в равнобедренную трапецию.

Пусть AB и CD - основания трапеции, BC - боковая сторона, а EF - диагональ трапеции. Пусть точка O - центр вписанной окружности, а R - радиус окружности.

Так как трапеция равнобедренная, то AB = CD. Пусть данная длина равна a.

В равнобедренной трапеции, диагональ является высотой и медианой. Поэтому, диагональ EF делит BC на две равные части, то есть BE = EC.

Также, из свойств вписанной окружности, мы знаем, что радиус окружности перпендикулярен к хорде окружности. Поэтому, BO ⊥ AB и CO ⊥ CD.

Так как AB = CD, то BO и CO являются высотами равнобедренной трапеции. Поэтому, треугольник BCO является равнобедренным треугольником.

Так как угол ABC равен 60°, то угол BOC также равен 60°. Так как треугольник BCO равнобедренный, то угол BCO равен углу BOC, то есть 60°.

Таким образом, в равнобедренном треугольнике BCO, у нас есть два равных угла (60°) и сторона BC.

Мы можем воспользоваться формулой синусов для нахождения длины диагонали EF:

sin(60°) = BC / EF

sin(60°) = BC / EF

√3 / 2 = BC / EF

BC = EF * √3 / 2

EF = BC * 2 / √3

Так как BC = 2 * R (так как BC - боковая сторона равна двум радиусам окружности), то:

EF = 2 * R * 2 / √3

EF = 4R / √3

В данной задаче, радиус окружности R равен 8, поэтому:

EF = 4 * 8 / √3

EF = 32 / √3

Для удобства, можно умножить и разделить на √3:

EF = 32 * √3 / 3

Таким образом, длина диагонали трапеции EF равна 32 * √3 / 3.