Question

Формула для вычесления обьемателавращения с помощью определеннрго интеграла

Answer 1

Пусть  Т —  тело вращения, образованное вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, расположенной в верхней полуплоскости и ограниченной осью абсцисс, прямыми  и  и графиком непрерывной функции .

Докажем, что это тело вращения кубируемо и его объем выражается формулой

Answer 2

Формула для вычисления объема тела вращения с помощью определенного интеграла

Для вычисления объема тела вращения с помощью определенного интеграла используется формула, которая зависит от оси вращения и функции, описывающей поперечное сечение тела.

Формула для вычисления объема тела вращения вокруг оси x: V = π * ∫[a, b] (f(x))^2 dx

где: - V - объем тела вращения, - π - число Пи (приближенное значение 3.14159), - ∫[a, b] - определенный интеграл от a до b, - f(x) - функция, описывающая поперечное сечение тела.

Формула для вычисления объема тела вращения вокруг оси y: V = π * ∫[c, d] (g(y))^2 dy

где: - V - объем тела вращения, - π - число Пи (приближенное значение 3.14159), - ∫[c, d] - определенный интеграл от c до d, - g(y) - функция, описывающая поперечное сечение тела.

Примеры использования формулы

Приведу несколько примеров использования формулы для вычисления объема тела вращения:

Пример 1: Вычисление объема шара

Для вычисления объема шара, можно использовать формулу для вычисления объема тела вращения поперечного сечения окружностью.

Пусть радиус окружности равен r. Тогда функция, описывающая поперечное сечение шара, будет f(x) = √(r^2 - x^2).

Используя формулу для вычисления объема тела вращения вокруг оси x, получим: V = π * ∫[-r, r] (√(r^2 - x^2))^2 dx

Пример 2: Вычисление объема цилиндра

Для вычисления объема цилиндра, можно использовать формулу для вычисления объема тела вращения поперечного сечения окружностью.

Пусть радиус окружности равен r. Тогда функция, описывающая поперечное сечение цилиндра, будет f(x) = r.

Используя формулу для вычисления объема тела вращения вокруг оси x, получим: V = π * ∫[0, h] (r)^2 dx

где h - высота цилиндра.

Примечания

- Формула для вычисления объема тела вращения с помощью определенного интеграла может быть применена для различных геометрических фигур, включая шары, цилиндры, конусы и другие. - Важно правильно определить функцию, описывающую поперечное сечение тела, и выбрать соответствующие пределы интегрирования. - Для более сложных фигур, может потребоваться разбить тело на более простые части и вычислить объем каждой части отдельно.

Примечание: Информация в данном ответе основана на результате поиска источников