Question

Знайти похідну функції y(x)=(x^2-4x)/(x+1) в точці x0= -2

Answer 1

$y(x)=\frac{x^2-4x}{x+1},\quad y'=\frac{(2x-4)(x+1)-(x^2-4x)}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x-4}{(x+1)^2}\\ y'(0)=-4.$

Answer 2

Для знаходження похідної функції \( y(x) = \frac{x^2 - 4x}{x + 1} \) в точці \( x_0 = -2 \), спочатку знайдемо похідну функції \( y(x) \) за допомогою правила диференціювання частин за частковими похідними. Потім підставимо значення \( x_0 = -2 \) у вираз для похідної, щоб знайти конкретне значення похідної в цій точці.

Знаходження похідної \( y(x) \)

Спочатку розкладемо \( y(x) \) на дві окремі функції за допомогою правила ділення полінома на біном: \[ y(x) = \frac{x^2 - 4x}{x + 1} = x - 5 + \frac{5}{x + 1} \]

Тепер знайдемо похідні цих функцій окремо: \[ \frac{d}{dx} (x) = 1 \] \[ \frac{d}{dx} (-5) = 0 \] \[ \frac{d}{dx} \left(\frac{5}{x + 1}\right) = -\frac{5}{(x + 1)^2} \]

За правилом суми похідних функцій: \[ \frac{d}{dx} y(x) = 1 - 0 - \frac{5}{(x + 1)^2} = 1 - \frac{5}{(x + 1)^2} \]

Знаходження значення похідної у точці \( x_0 = -2 \)

Тепер підставимо \( x_0 = -2 \) у вираз для похідної: \[ \frac{d}{dx} y(x) \bigg|_{x=-2} = 1 - \frac{5}{(-2 + 1)^2} = 1 - 5 = -4 \]

Отже, значення похідної функції \( y(x) = \frac{x^2 - 4x}{x + 1} \) в точці \( x_0 = -2 \) дорівнює -4.