Question

В школьной математической олимпиаде приняли участие учащиеся всех шестых классов. Ученики 6Г класса выступили на олимпиаде следующим образом: первую задачу решили 9 учеников, вторую-7 учеников, третью- 5 учеников, четвёртую-3 ученика, пятую-1 ученик. Все ученики 6Г класса, кроме Васи, решили одинаковое число задач, а Вася – на одну задачу больше. Мог ли он стать призером олимпиады, если призерами олимпиады стали шестиклассники, решившие 4 или 5 задач?

Answer 1

НЕТ. Не мог.
Всего решено 9+7+5+3+1=25 задач.
Минус одна решенная больше всех Васей 25-1=24 задачи.
Значит если х- учеников, у- одинаковое число задач решенное учениками
то получаем х*у=24
Так как в целочисленных вариантах если х=8 (у=3), то противоречит условию,
                 первую задачу решило 9 учеников (х больше или равен 9).
Значит учеников может быть или 24 или 12.
При максимуме у=2 (х=12), получаем, что
Все решили 2 задачи, а Вася 3
При минимуме все решили 1 задачу, а Вася 2.
И в том и другом случае Вася не призер олимпиады.

Answer 2

Ответ: Нет, Вася не мог стать призером олимпиады, потому что он решил не более трех задач.

Объяснение: Пусть x - число задач, решенных каждым учеником 6Г класса, кроме Васи, а y - число учеников в этом классе. Тогда по условию задачи можно составить следующую систему уравнений:

x + 1 + (y - 1)x = 25 x + 1 ≤ 5 x ≥ 0 y ≥ 1

Решая эту систему, получаем, что x может принимать значения 0, 1 или 2, а y - значения от 1 до 25. Но если x = 0, то получается, что Вася решил только одну задачу, а это невозможно, потому что он решил пятую задачу, которую решил только один ученик. Значит, x = 1 или 2. В обоих случаях Вася решил на одну задачу больше, то есть 2 или 3 задачи соответственно. Но это меньше, чем 4 или 5 задач, которые нужно решить, чтобы стать призером олимпиады. Следовательно, Вася не мог стать призером олимпиады.