Question

Вычислить sin(1/2 arccos 1/9)

Answer 1

Обозначим $arccos \frac{1}{9} = \alpha , 0 \leq \alpha \leq \pi$ 

По определению арккосинуса, угол α  в I или II четверти.

Значит  $cos \alpha = \frac{1}{9} , 0 \leq \alpha \leq \frac{ \pi }{2}$

Косинус положительный в I и IY четверти. Из вышесказанного следует, что угол α в первой четверти, а значит синус этого угла и синус половинного угла положительны.

По формуле косинуса двойного угла :

$cos \alpha =1-2sin ^{2} \frac{ \alpha }{2}$

$sin ( \frac{1}{2}arccos \frac{1}{9})= sin \frac{ \alpha }{2} =+ \sqrt{ \frac{1-cos \alpha }{2} } = \sqrt{ \frac{1- \frac{1}{9} }{2} } = \sqrt{ \frac{4}{9} } = \frac{2}{3}$

Answer 2

Вычисление sin(1/2 + arccos(1/9))

Для вычисления sin(1/2 + arccos(1/9)), сначала мы должны вычислить значение arccos(1/9), а затем использовать его для вычисления sin(1/2 + arccos(1/9)).

1. Вычисление arccos(1/9): Найдем угол, чей косинус равен 1/9. Это означает, что мы ищем угол θ такой, что cos(θ) = 1/9. Для этого возьмем arccos от обеих сторон уравнения: θ = arccos(1/9)

Теперь нам нужно вычислить arccos(1/9). Это можно сделать с помощью обратной тригонометрической функции arccos (или cos^(-1)), которая возвращает угол, чей косинус равен аргументу. В данном случае, arccos(1/9) ≈ 1.45997 радиан.

2. Вычисление sin(1/2 + arccos(1/9)): Теперь, когда у нас есть значение arccos(1/9), мы можем использовать его для вычисления sin(1/2 + arccos(1/9)). sin(1/2 + arccos(1/9)) = sin(1.5 + 1.45997) sin(1.5 + 1.45997) ≈ sin(2.95997)

Теперь вычислим синус этого значения, который равен примерно 0.2785.

Таким образом, sin(1/2 + arccos(1/9)) ≈ 0.2785.