Question

Найдите сумму всех целых решений неравенства (x+3)(x-2)^2(x+1)^3(x-5)^4<=0

Answer 1

$(x+3)(x-2)^2(x+1)^3(x-5)^4 \leq 0$
 +         -          +     +     +
----|wwwww|-----|-----|----->
   -3            -1     2     5
x∈[-3; -1]∪{2}∪{5}
сумма целых: (-3)+(-2)+(-1)+2+5 = 1
Ответ: 1.

Answer 2

Для нахождения суммы всех целых решений неравенства: (x + 3)(x - 2)^2(x + 1)^3(x - 5)^4 <= 0

мы можем использовать метод интервалов и анализировать каждый интервал, на котором неравенство выполняется.

Ноль в качестве точки отсчета

Поскольку данное неравенство является неравенством меньше или равно нулю, мы начнем с нуля в качестве точки отсчета и рассмотрим интервалы на основе знаков функции.

Интервал (-бесконечность, -3)

Для интервала (-бесконечность, -3) все множители в неравенстве положительны (поскольку все множители имеют нечетные степени). Поэтому произведение будет положительным. Следовательно, неравенство не выполняется на этом интервале.

Интервал (-3, -2)

Для интервала (-3, -2) первый множитель (x + 3) является положительным, а остальные множители (x - 2)^2, (x + 1)^3 и (x - 5)^4 являются отрицательными. Поэтому произведение будет отрицательным. Неравенство выполняется на этом интервале, когда количество отрицательных множителей четное (0, 2, 4 и так далее).

Интервал (-2, -1)

Для интервала (-2, -1) первый и третий множители (x + 3) и (x + 1)^3 являются положительными, а остальные множители (x - 2)^2 и (x - 5)^4 являются отрицательными. Поэтому произведение будет отрицательным. Неравенство выполняется на этом интервале, когда количество отрицательных множителей нечетное (1, 3, 5 и так далее).

Интервал (-1, 2)

Для интервала (-1, 2) первый и второй множители (x + 3) и (x - 2)^2 являются положительными, а остальные множители (x + 1)^3 и (x - 5)^4 являются отрицательными. Поэтому произведение будет положительным. Следовательно, неравенство не выполняется на этом интервале.

Интервал (2, 5)

Для интервала (2, 5) первый множитель (x + 3) является положительным, а остальные множители (x - 2)^2, (x + 1)^3 и (x - 5)^4 являются отрицательными. Поэтому произведение будет отрицательным. Неравенство выполняется на этом интервале, когда количество отрицательных множителей четное (0, 2, 4 и так далее).

Интервал (5, +бесконечность)

Для интервала (5, +бесконечность) все множители в неравенстве положительны (поскольку все множители имеют нечетные степени). Поэтому произведение будет положительным. Следовательно, неравенство не выполняется на этом интервале.

Сумма целых решений

Теперь мы можем просуммировать целые значения x в интервалах, где неравенство выполняется, чтобы найти сумму всех целых решений неравенства.

В интервале (-3, -2) возможные значения x: -3, -2. Сумма: -3 + -2 = -5. В интервале (-2, -1) возможные значения x: -2, -1. Сумма: -2 + -1 = -3. В интервале (2, 5) возможные значения x: 3, 4. Сумма: 3 + 4 = 7.

Таким образом, сумма всех целых решений неравенства (x + 3)(x - 2)^2(x + 1)^3(x - 5)^4 <= 0 равна -5 + -3 + 7 = -1.