Question

Найдите значение выражения 9a^2+b^2 если 3а+b=13 и ab=5

Answer 1

$9a^{2} + b^{2} = (3a)^{2}+ b^{2} = (3a)^{2}+ b^{2} +6ab -6ab=$
$= (3a+b)^{2}-6ab=169-30=139$

Answer 2

Давайте найдем значение выражения 9a^2 + b^2, при условии, что 3a + b = 13 и ab = 5.

Решение:

1. Возведем оба уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней: (3a + b)^2 = 13^2 (ab)^2 = 5^2

2. Раскроем скобки в первом уравнении: 9a^2 + 2ab + b^2 = 169

3. Подставим значение ab = 5, полученное из второго уравнения, в первое уравнение: 9a^2 + 2 * 5 + b^2 = 169 9a^2 + 10 + b^2 = 169

4. Теперь мы имеем уравнение с двумя неизвестными a и b. Мы можем использовать второе уравнение 3a + b = 13, чтобы выразить одну переменную через другую и подставить это значение в уравнение выражения.

5. Решим второе уравнение относительно b: b = 13 - 3a

6. Подставим это значение b в уравнение выражения: 9a^2 + 10 + (13 - 3a)^2 = 169

7. Раскроем квадрат во втором слагаемом: 9a^2 + 10 + 169 - 78a + 9a^2 = 169

8. Соберем все слагаемые и уравняем их нулю: 18a^2 - 78a + 10 + 169 - 169 = 0

9. Упростим уравнение: 18a^2 - 78a + 10 = 0

10. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта или факторизации.

11. Дискриминант D = b^2 - 4ac: D = (-78)^2 - 4 * 18 * 10 = 6084 - 720 = 5364

12. Так как дискриминант D > 0, у нас есть два корня для уравнения.

13. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: a1,2 = (-b ± √D) / 2a

14. Подставим значения a, b и c в формулу: a1,2 = (-(-78) ± √5364) / (2 * 18)

15. Разложим корни: a1 = (78 + √5364) / 36 a2 = (78 - √5364) / 36

16. Вычислим значения корней: a1 ≈ 3.710, a2 ≈ 0.290

17. Подставим найденные значения a во второе уравнение 3a + b = 13, чтобы найти соответствующие значения b: При a ≈ 3.710: 3 * 3.710 + b ≈ 13 => b ≈ -1.130 При a ≈ 0.290: 3 * 0.290 + b ≈ 13 => b ≈ 11.131

18. Теперь, когда у нас есть значения a и b, мы можем подставить их в выражение 9a^2 + b^2: При a ≈ 3.710 и b ≈ -1.130: 9 * (3.710)^2 + (-1.130)^2 ≈ 123.481 При a ≈ 0.290 и b ≈ 11.131: 9 * (0.290)^2 + (11.131)^2 ≈ 126.803

Ответ:

Значение выражения 9a^2 + b^2 при условии 3a + b = 13 и ab = 5 будет около 123.481, если a ≈ 3.710 и b ≈ -1.130, или около 126.803, если a ≈ 0.290 и b ≈ 11.131.