Question

√x-a * sinx=√x-a найдите значение параметра при котором уравнение имеет лишь 1 корень на промежутке [0:П]

Answer 1

ОДЗ: $x \geq a$

$\sqrt{x-a} \sin x=\sqrt{x-a} \\ \\ \sqrt{x-a} \sin x-\sqrt{x-a} =0\\ \sqrt{x-a} (\sin x-1)=0$

Произведение равно нулю, если один из множители равен нулю

$x-a=0;\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\,\,\, x=a\\ \\ \sin x-1=0\\ x= \frac{\pi}{2}+2 \pi k,k \in Z$

Если k=0, то $x=\frac{\pi}{2}\in [0; \pi ]$

Чтобы уравнение имел лишь один корень достаточно чтоб $a=x=\frac{\pi}{2}$

Еще учтем, что $x \in [0; \pi ]$, то$0 \leq a \leq \pi$ уравнение будет иметь 1 корень

Проверим на концах отрезка

Если а=0, то 
$\sqrt{x} (\sin x-1)=0\\ x_1=0\\ x_2= \frac{\pi}{2}$

получили 2 корня, следовательно а=0 нам не подходит

Если а = π, то 
$x_1= \pi \\x_2= \frac{\pi}{2} \notin[ \pi ;+\infty)$

Подходит


Ответ: $a_1=\frac{\pi}{2}; a_2=\pi$

Answer 2

Данное уравнение √x - a + sin(x) = √x - a можно решить, чтобы найти значение параметра a, при котором уравнение имеет только один корень на промежутке [0, П].

Давайте рассмотрим процесс решения этого уравнения:

Шаг 1: Вычитаем √x и переносим все слагаемые на одну сторону уравнения:

√x - √x - a + sin(x) = 0

Шаг 2: Упрощаем выражение, отменяя √x:

-a + sin(x) = 0

Шаг 3: Переносим -a на другую сторону уравнения:

sin(x) = a

Теперь мы получили уравнение sin(x) = a, где a - параметр, и нам нужно найти значение параметра a, при котором уравнение имеет только один корень на промежутке [0, П].

Для того чтобы уравнение sin(x) = a имело только один корень на промежутке [0, П], значение параметра a должно быть в пределах от -1 до 1, так как sin(x) принимает значения от -1 до 1.

Если a выходит за пределы этого интервала, то уравнение будет иметь либо бесконечное количество корней, либо ни одного корня на промежутке [0, П].

Таким образом, значение параметра a должно быть в интервале [-1, 1], чтобы уравнение sin(x) = a имело только один корень на промежутке [0, П].

Надеюсь, это помогло! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.