Question

1)Log1/8(8x-2)>=0 2)lgx+lg(x-9)<1

Answer 1

1)log1/8(8x-2)≥0 .                (ОДЗ: 8х-2>0, х>1/4)
Прологарифмируем правую часть неравенства, получим
log1/8(8x-2)≥log1/8(1).
Поскольку основа логарифма 1/8<1, то знак неравенства при потенциировании меняется на ≤:
8х-2≤1, 8х≤3, х≤3/8.
Учитывая область допустимых значений, имеем
1/4<х≤3/8.
Ответ: х∈(1/4;3/8]

2)lgx+lg(x-9)<1.           (ОДЗ: х>0 и х>9    ⇒    х>9)
В левой части неравенства используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием, а правую часть неравенства прологарифмируем по основанию 10, получим
lg(х(х-9))<lg10.
Поскольку основа логарифма 10>1, то при потенциировании знак неравенства не меняется, то есть
(х(х-9))<10
х²-9х-10<0
(х-10)(х+1)<0, т.е.     1<х<10. Учитывая ОДЗ, имеем
9<х<10.
Ответ: х∈(9;10).

Answer 2

Давайте решим эти два неравенства по очереди.

1) Log₁/₈(8x-2) >= 0

Для начала, заметим, что основание логарифма равно 1/8. Мы можем переписать это уравнение с помощью эквивалентности логарифмической и экспоненциальной функций:

8^(Log₁/₈(8x-2)) >= 8^0

8^(Log₁/₈(8x-2)) >= 1

Теперь мы можем избавиться от логарифма, применив свойство равенства экспоненты и логарифма:

(8x-2) >= 1

8x >= 3

x >= 3/8

Таким образом, решением данного неравенства является x >= 3/8.

2) lg(x) + lg(x-9) < 1

Вначале объединим логарифмы с помощью свойства сложения логарифмов:

lg(x(x-9)) < 1

Теперь мы можем избавиться от логарифма, применив свойство равенства экспоненты и логарифма:

x(x-9) < 10

x² - 9x < 10

Перенесем все в одну сторону:

x² - 9x - 10 < 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения:

(x - 10)(x + 1) < 0

У нас есть два фактора: (x - 10) и (x + 1). Чтобы неравенство было истинным, один из факторов должен быть отрицательным, а другой - положительным.

Таким образом, мы получаем два набора решений:

1) x - 10 < 0 и x + 1 > 0

x < 10 и x > -1 Набор решений: -1 < x < 10 2) x - 10 > 0 и x + 1 < 0

x > 10 и x < -1 Набор решений: нет решений, так как нет чисел, которые одновременно больше 10 и меньше -1.

Таким образом, решением данного неравенства является -1 < x < 10.

Итак, решениями исходных неравенств являются: 1) x >= 3/8 2) -1 < x < 10